第二章 几种矩阵的判定和应用 ?10??01A???10??0?3?00??00??1?1，且AXA?XA?3E，求矩阵X。 10??08???143解:由关系式AXA?1?XA?1?3E, 可得X?3?A?E?A。
注意到A是4阶矩阵，有A??AA?1，而A??AA?1?AA?1?A。 注意到A??8，于是有A?2，可得A??2A?1。 在等式A??2A?1的两边取逆，即有
?2??1?0A?2?A?????2??0?经简单计算有
?6000???0600???1X?3?A?E?A??。
6060????0240?1????例2(吉林工业大学，吉林大学)设A,B，均为n阶方阵，求证?AB??B?A?。
000??200?， ?020?6014??证明：（1）当AB?0时，A?0且B?0，由公式A??AA?1，可得 ?AB??AB?AB??B?B?A?A??B?A?，
??1?1?1 （2）当AB?0时，考虑矩阵A????A??E，B????B??E，由于A和B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个?，使A????0，B????0。由上面（1）的结论有?A???B?????B???A????。
??令?A???B??????fij????n?n,B???A?????gij????n?n。由上式得
????i，j?1，fij????gij???，2，?，n?,
即有无穷多个?使上式成立，但fij???，gij???都是多项式，从而上式对一切?都成立.特别令??0，这时有
?AB????A?0?B?0????B?0??A?0???B?A?。
2.3对角矩阵
2.3.1可对角化矩阵的定义
如果数域P上的n阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A可对角化。
2.3.2对角化矩阵判定条件和方法
数域P上n阶矩阵A可对角化的判定条件：
（1）充分必要条件：A有n个线性无关的特征向量；
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （2）充分必要条件：A的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；
（3）充分必要条件：A的最小多项式没有重根； （4）充分必要条件：A的不变因子都没有重根； （5）充分条件：A有n个互异的特征值； （6）充分条件：A是实对称矩阵。
n阶矩阵A可对角化的判定方法：
?，?t，其第一步：求A的全部特征值。设A的所有互异特征值为?1，?,2，?，rt，且r1?r2???rt?n。若t?n，即A有n个互异的特征重数分别为r1，r2，值，则A可对角化。
第二步：对每一特征值?i，解方程组??iE?A?x?0得对应?i的线性无关特
?，pisi?i?1，2，?，t?。 征向量（即齐次方程组的基础解系）pi1，pi2，若某个si?ri，即对应?i的线性无关特征向量的个数小于?i的重数，则A不可对
2，?，t?，则A可对角化。 角化；若si?ri?i?1，第三步：当A可对角化时，把n个线性无关的特征向量按列构成矩阵
P?p11，p12，?，p1r1，p21，p22，?，p2r2，?，pt1，pt2，?，ptrt，
??1Er1????E??2r2则P?1AP?????。 ?????tErt?????
注：对角矩阵?的对角线元素恰好是A的n个特征值，且特征值的顺序与P的列向量顺序保持一致。
2.3.3有关可对角化矩阵的例子
?1?11???4y?，例1 设矩阵A??x已知A有三个线性无关的特征向量，??2是A的??3?35???二重特征值。试求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵。
解：因为A有三个线性无关的特征向量，??2是A的二重特征值，所以A的对应于??2的线性无关的特征向量有两个，故r?2E?A??1。由于
1?1??11?1??1????2E?A???x?2?y???0x?2?x?y?
?3?35?00????0?解得x?2，y??2。
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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?1?11???4?2?。 所以，矩阵A??2??3?35???设?1，?2，?3是A的三个特征值，由已知可知?1??2?2。 由?1??2??3?1?4?5?10，可得?3?6。
可求得对应于特征值?1??2?2的线性无关特征向量为
T?1???1，1，0?，T?2??1，0，1?。
T?2，3?。故可逆矩阵 而对应于特征值?3?6的特征向量为?3??1，??111??200??????1P??10?2?,使得PAP??020?。
?013??006?????
?12?3???例2 设矩阵A???14?3?的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是
?1a5???否可相似对角化。
解：A的特征多项式为
??1?13?E?A?1??43????2???2?8??18?3a?。
?1?a??5若??2是特征方程的二重根，则有22?16?18?3a?0，解得a??2。
当a??2时，A的特征值为2，2，6，矩阵
?1?23???2E?A??1?23?
??12?3???的秩为1，故??2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。 若??2不是特征方程的二重根，则?2?8??18?3a为完全平方，从而
2218?3a?16，解得a??。当a??时,A的特征值为2，4，4，矩阵
33???3?23?4E?A??103?，
??2??1?1?3??的秩为2，故??4对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 ?2?20???例3 已知实对称矩阵A???21?2?，求可逆矩阵P,使PTAP为对角矩阵。
?0?20???解：（法1用配方法）A所对应的二次型为
222f?2x12?4x1x2?x2?4x2x3?2?x1?x2??x2?4x2x3。
?y1?x1?x2?x1?y1?y2??令?y2?x2，即?x2?y2，得 ?y?x?x?y33?3?322f?2y12?y2?4y2y3?2y12??y2?2y3??4y3。
2?z1?y1?y1?z1??令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3，得标准形 ?z?y?y?z3333??22f?2z12?z2?4z3。
所用可逆线性变换为
?x1?z1?z2?2z3?x1??11?2??z1????????x?z?2zx?01?2，即?2?2????z2?。 23??x??001??z?x3?z3??3????3??11?2??200?????故可逆矩阵P??01?2?，使得PTAP??0?10?。
?004??001?????
(法2)可求得?E?A????2????4????1?，所以A的特征值为
?1??2，?2?1，?3?4。
又对应特征值?1??2，?2?1，?3?4的特征向量分别为
p1??1，2，2?，p2???2，?1，2?，p3??2，?2，1?。
TTT单位化得
?122??212??221?q1??，，?，q2???，?，?，q3??，?，?。
333333333???????1?22??1?故可逆矩阵(实际是正交矩阵) P?q1，q2，q3??2?1?2?，使得
3?1??22???200???PTAP?P?1AP??010?。
?004???TTT??
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第二章 几种矩阵的判定和应用 2?2??2??5?4? 例4 （天津大学）设三阶实对称矩阵A??2??2?45???（1）求一个正交矩阵C及对角形矩阵?，使CTAC??。 （2）求一个对称矩阵B使A?B2。
解：（1）显然易见，可求得A的特征多项式为f???????10????1?，于是A的
2特征值为?1??2?1，?3?10。 由?10E?A?x?0解得一个基础解系为
?1???e1???2?，
?2???由?1E?A?x?0解得一个基础解系为
?0??2?????e2??1?，e3??0?，
?1??1?????将e1单位化，将e2，e3先正交化后单位化，之后将这三个向量组成一个正交矩阵为
?13?C???23??23??1000???显然有CTAC??010?。
?001???223??22?26?，
?2226??0?1000??1000??1000???????TT（2）显然有A?C?010?C?C?010?CC?010?CT，
?????001?????001001???????8?102?2102?210????999???1000????2?2105?4104?410?那么有对称矩阵B?C?010?CT????，
999?????0?014?4105?410????2?210??999??使得A?B2成立。
例5（三峡大学） A为正定矩阵，B是实对称矩阵。 （1）证明存在可逆矩阵?使?TA??E，?TB?为对角矩阵。
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