广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 （2）证明AB的特征值都是实数。
解：（1）因为A为正定矩阵，B为实对称矩阵，则存在可逆矩阵Q，使QTAQ?E，
?QTBQ??QTBTQ?QTBQ，所以QTBQ为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P使
T得PTQTBQP??。
令??QP，显然?可逆，?TB???QP?BQP?PTQTBQP??，
T?TA???QP?TAQP?PTQTAQP?PTEP?PTP?E。
（2）由A正定可知A?1正定，由（1）可知，存在可逆矩阵Q，
?，?n?,??i?R，i?1，2，?n?， 使得QTA?1Q?E，QTBQ?diag??1，由于?E?AB?0，所以?A?1?B?0。
?，???n?， 而QT??A?1?B?Q??QTA?1Q?QTBQ??E?QTBQ?diag????1，所以QT??A?1?B?Q??A?1?BQ?????1?????2??????n?。
2由于Q?0，
?，?n为?A?1?B的特征值，也为?E?AB的实根。 所以?1，?2，2
解题技巧：在解本题时，要用到正定矩阵和对称矩阵的性质。
2.4正交矩阵
2.4.1正交矩阵的定义
如果n阶实矩阵A满足ATA?E?或AAT?E，或A?1?AT?，则称A为正交矩阵。
2.4.2正交矩阵的性质
（1）如果A是正交矩阵，则A??1；
（2）如果A是正交矩阵，则AT，A?1，A?，Ak均是正交矩阵；而lA是正交矩阵的充分必要条件是：l??1；
（3）如果A,B是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；
（4）n阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是：A的n个列（或行）向量是两两正交的单位向量。
2.4.3正交矩阵的例子
例1 （南京大学）设A为n阶实对称矩阵，S为n阶实反对称矩阵?即S??ST?，且AS?SA，A?S为满秩矩阵，试证：?A?S??A?S?为正交矩阵。
?1证：因为A?S为满秩矩阵，所以r?A?S??n，则A?S可逆。
?A?S?T?A?S??A?S??1?
?A?S??1?A?S??A?S??A?S??1，
又由AS?SA，得?A?S??A?S???A?S??A?S?。代入上式得
?1T??A?S??A?S???A?S??A?S????A?S???1T?112
第二章 几种矩阵的判定和应用 ??A?S??A?S???A?S??A?S??1T?1?E，
故?A?S??A?S?是正交矩阵。
?1例2 （中国科学院）求证：不存在正交矩阵A,B，使A2?AB?B2。 证：用反证法。若存在n阶正交矩阵A,B使A2?AB?B2， ① 式①右乘B?1得
A?B?A2B?1，
式①变形为A?A?B??B2，再左乘A?1得
A?B?A?1B2，
由于A,B是正交矩阵，从而A2B?1是正交矩阵，此即A?B是正交矩阵。类似可知A?B是正交矩阵，故有
E??A?B??A?B??2E?ATB?BTA，
TE??A?B??A?B??2E?ATB?BTA，
T两式相加得2E?4E。矛盾，即证结论。
解题技巧：利用正交矩阵性质的（2）、（3）和正交矩阵的定义来求解。
?2?12???，B?例3 （长春地质学院）设有二阶矩阵A???21??3???3??，试分别将它们0??用正交矩阵化为对角矩阵，并求正交矩阵P，使PTAP?B。
解：因为?E?A????3????1?，所以A的特征值为?1?3，?2??1。可求得正交阵
??P1?????T11212?1??2?， 1??2??30?使得PAP1???0?1??。 ①
??又因为?E?B????3????1?，所以B的特征值为?1?3，?2??1。也可求得正
交阵
??P2?????32121???2?， ?3?2??30?使得P2TBP2???0?1??。 ②
??T?1?1根据式①和②得P1TAP1?P2BP2，从而?P2P1?A?P1P2??B。
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 令P?P1P2?1?1?3?11?3???，则P为正交阵，且PTAP?B。
?22??3?11?3?
2.5实对称矩阵
2.5.1实对称矩阵的定义
对于实矩阵A，若AT?A，则称A为实对称矩阵。 注：若A为实反对称矩阵?AT??A。
2.5.2实对称矩阵的性质
（1）实对称矩阵的特征值皆为实数；
（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交；
（3）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，即对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使QTAQ?Q?1AQ为对角矩阵；
（4）若A为实对称矩阵，则存在可逆矩阵P，使得PTAP也是实对称矩阵； （5）若A为实对称矩阵，则存在为实对称矩阵B，使得A?B2（例2）。
2.5.3实对称矩阵A??aij?n?n正交相似于对角矩阵的计算方法：
?，?t是A的所有第一步：求A的特征值和对应的线性无关特征向量。设?1，?2，?，rt，且r1?r2???rt?n。又设对应特征值互异特征值，其重数分别为r1，r2，?i的ri个线性无关的特征向量为
pi1，pi2，?，piri?i?1，2，?，t?。
?，piri用Schmidt方法正交化： 第二步：当ri?1时，将特征向量pi1，pi2，?i1?pi1，?ij?pij?[pij，?i1][?i1，?i1]?i1???1[pij，?i,j?1][?i,j?1，?i,j?1]?i,j?1?j?2，?，ri?，
再单位化 qij??ij?ij1pi1?j?1，2，?，ri?，
pi1。
如果ri?1，直接将pi1单位化得qi1?第三步：构造正交矩阵
Q?q11，q12，?，q1r1，q21，q22，?，q2r2，?，qt1，qt2，?，qtrt，
????1Er1??则Q?1AQ?QTAQ??????2Er2????。 ???tErt??2.5.4有关实对称矩阵的例子
例1 试求正交的相似变换矩阵，化下列实对称矩阵为对角矩阵
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第二章 几种矩阵的判定和应用 ?5?13??211?????（1）A???15?3?；（2）A??121?。
?112??3?33?????解：（1）可求得
??5?E?A?1?3T1?33?????4????9?，
??53??3TTA的特征值为?1?0，?2?4，?3?9。对应的特征向量分别为
p1???1，1，2?，p2??1，1，0?，p3??1，?1，1?，
（它们应是两两正交的）单位化得
?1??1??1????????6???3??2?11?1??1?1?1?q1?p1??q?p?，，q?p?3322????， ??3?2p1p3p2?6????0??2??1???????????6??3?
?111????623??11??1?故正交矩阵Q???，使得 23??61??20??3??6?000????1TQAQ?QAQ??040?。
?009???
（2）可求得
??2?E?A??1?1T?1?1?1????1????4?，
2??2?1T??2A的特征值为?1??2?1，?3?4。又A对应的特征值?1??2?1的线性无关特征
1，0?，p2???1，0，1?，将其正交化 向量分别为p1???1，?11??1?p1???1，1，0?，?2?p2??1???，?,1?，
?22?[?1，?1]T[p2，?1]T?1112??11?再单位化q1??2???，?，??1???，，0?,q2???，
666?22????2?11TTA对应的特征值?3?4的特征向量为
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广东石油化工学院本科毕业论文：有关矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用 p3??1，1，1?，
T单位化得q3?1p3?111?p3???，，??。
?333?1??63?11???，使得 63?21??63??100????1TQAQ?QAQ??010?。
?004????1T?1??2??1故正交矩阵Q???2?0??
解题技巧:要将实对称矩阵A化为对角矩阵，应先通过?E?A?0来求A的特征值。若其特征值互异，则可通过解??iE?A?x?0来求对应的特征向量，然后直接将其单位化。若某一特征值有重数，则应先将其特征向量正交化，然后再单位化。
?13144???2A?142418例2 （北京航空航天大学）已知??，求满足关系X?A的实对
?41829???称矩阵X。
解：易解得A的三个特征值为1，16, 49，找出这三个特征值的特征向量，然后再单位化并组成正交矩阵Q，即有(注意到对称矩阵对应于不同的特征值的特征向量必正交，所以这里不需要正交化)
??23?2313???Q??23?1323?，
??132323???16，49?QT??Qdiag?1，4，7?QT??Qdiag?1，4，7?QT??X2， 那么有A?Qdiag?1，?320???T4，7?Q??242?。 即有X?Qdiag?1，?025???
解题技巧:通过观察A可知其为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得QDQT?A或QTAQ?D，再将对角阵D写成D02，即可得答案X?QD0QT。所以首先应求出正交矩阵Q。因为本题所求出A的特征值互异，所以其对应特征向量必正交，从而对特征向量直接单位化即可。
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