债券交易价格波动研究的数学问题
债券交易价格波动富含许多经济信息，对于价格的数据进行处理以获取经济信息是经济理论的常用的手段。本题拟完成以下几个任务：
1. 依据提供几种债券交易价格历年（日或月）的价格数据；获取描述其变
化规律的数学模型。 2. 获取价格波动的原因。
3. 获取国民经济的运行情况和债券交易价格的关系信息。
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6.4 时间序列模型
时间序列模型是应用十分广泛的数学模型，其内容十分丰富。时间序列是按时间次序排
列的随机变量序列，任何时间序列经过合理的函数变换后都可以被认为是由三个部分叠加而成。这三个部分是趋势项部分，周期部分和随机噪声部分。从时间序列中把这三个部分分解出来是时间序列分析的首要任务。本节主要介绍时间序列的分解方法，时间序列和随机过程的关系，时间数列的构成要素与一些简单基本模型。
6.4.1 时间序列的基本概念和现代时间序列分析
1. 基本概念
定义6.6 按时间次序排列的随机变量序列
X1,X2,?,Xn,? （6.4.1） 称为时间序列。如果用
x1,x2,...,xN （6.4.2）
分别表示随机变量X1,X2,...XN的观测值，就称式（6.4.2）是时间序列式（6.4.1）的N个观测样本，这里N是观测样本的个数。如果用
(x1,x2,?,xN) （6.4.3）
表示X1,X2,?,XN的依次观测值，就称式（6.4.3）是式（6.4.1）的一次实现或一条轨道。
在实际问题中所能得到的数据只是时间序列的有限观测样本。时间序列分析的主要任务就是根据观测数据的特点为数据建立尽可能合理的统计模型，然后利用模型的统计特性去解释数据的统计规律，以期达到控制或预报的目的。
为了表达方便我们用?Xt?表示时间序列式（6.4.1），用?xt?表示观测样本式（6.4.2）或式（6.4.3），为了表达简单，有时还用X?t?表示Xt，用x?t?表示xt。
例6.11 某地区历史上自然灾害频繁发生，在各种自然灾害中，水旱灾害发生的机遇最多，危害最大，表6-4-1给出了该地区1949至1964年的洪涝灾害面积的数据（单位：万亩）。
表6-4-1 某地区洪涝灾害数据
年份 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 受灾面积（万亩） 331.12 380.44 59.63 37.89 103.66 316.67 208.72 288.79 25.00 84.72 260.89 27.18 20.74 52.99 99.25 成灾面积（万亩） 243.96 293.90 59.63 18.09 72.92 244.57 155.77 255.22 0.50 48.59 202.96 15.02 17.09 14.66 45.61 1964 16 55.36 41.90
现在考虑受灾面积，用X1表示第1年（1949）的受灾面积，X2表示第2 年（1950）的受灾面积等第。X1,X2,..，是一列按时间次序排列的随机变量，因此是一个时间序列。用x1,x2,...,x16分别表示第1年，第2年?，第16年的实际受灾面积，则
x1?331.12,x2?380.44,...,x16?55.36
是时间序列?Xt?的观测样本，样本量N?16。它是时间序列?Xt?的一次实现的一部分。
如果用Y1,Y2,...Y16表示第1，2，?，16年的成灾面积，则
y1?243.96,y2?293.90,...,y16?41.90
是时间序列?Yt?的16个观测样本，时间序列的观测样本可以用数据图6-4-1表出。
400350300250200150100500年年年955年957年959年961年963年19491951195311111
图6-4-1 某地区洪涝灾害数据图，虚线是成灾面积
由于?Xt?，?Yt?之间存在着相关关系，所以还需要研究向量值的时间序列
?t??Xt,Yt?,t?1,2,...,
T向量值的时间序列又称为多维时间序列。
类似地，时间序列可以表示：某地区的月降水量；某航空公司的逐日客流量；北京地区每月的煤炭消耗量；某渔业公司的逐月水产品的产量；某国家的逐月失业率等等。
2．时间序列的第一类分解
上述例子中，时间指标都是等间隔排列的。为了叙述方便，如果没有特殊说明，本书中的时间序列时间指标都是等间隔排列的。时间序列分析的主要任务是对时间序列的观测样本建立尽可能合适的统计模型。合理的模型会对所关心的时间序列的预测、控制和诊断提供帮助。大量时间序列的观测样本都表现出趋势性、季节性和随机性或者只表现出三者中的其二或其一。这样，可以认为每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列，都可以分解成三个部分的叠加。
,tt?1,2?, , Xt?Tt?St?R(6.4.4)
其中?St?是趋势项， ?St?是季节项， {Rt}是随机项。时间序列?Xt?是这三项的叠加，便于与后面的分解区别，在此称它为时间序列的第一类分解。
通常认为趋势项?Tt???T?t??是时间t的实值函数，它是非随机的。相应于时间序列，观测样本?xt?也有相应的分解。为研究问题的方便，在不引起混淆?Xt?的分解式（6.4.4）
的情况下，我们往往不对?xt?和?Xt?进行严格区分。在研究和关心数据的统计性质的时候用大写的Xt，在用于数据的计算时常用小写xt。
时间序列分析的首要任务是通过观测样本式（6.4.2）的观察分析，把时间序列的趋势项、季节项和随机项分解出来，这项工作被称为时间序列的分解.在模型式（6.4.4）中，如果季节项?St?只存在一个周期s，则
S?t?s??S?t?,t?1,2,...
于是，?St?在任何一个周期内的平均是常数
1S?t?j??c ?sj?1s把模型式（6.4.4）改写成
Xt??Tt?c???St?c??Rt,t?1,2,...
就得到新的季节项?St?c?，它仍有周期s且在任何一个周期内的和是零，于是，在模型式（6.4.4）中可以要求
?S?t?j??0,t?1,2,... （6.4.5）
j?1s同理，可以要求随机项的数学期望等于零，即
ERt?0,t?1,2,... （6.4.6） 例6.12 表6-4-2中的数据是某城市1991～1996年中每个季度用煤消耗量（单位：吨）。数据图形由图6-4-2出。
表6-4-2 某城市居民季度用煤消耗量
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 季平均 1季度 6878.4 6815.4 6634.4 7130.2 7413.5 7476.5 7058.1 2季度 5343.7 5532.6 5658.5 5532.6 5863.1 5965.5 5649.3 3季度 4847.9 4745.6 4674.8 4989.6 4997.4 5202.1 4909.6 4季度 6421.9 6406.2 6645.5 6642.3 6776.1 6894.1 6597.7 年平均 5873.0 5875.0 5853.3 6073.7 6262.6 6384.5 7500700065006000550050004500159131721图6-4-2 例6.12的数据图和分段趋势
下面通过对例6.12中的数据分析，介绍几种常用的分解时间序列的方法. 方法1 分段趋势
从数据图6.4.2可以看出，数据随着季节的变化有明显的周期s?4。从年平均看出，数据有缓慢的逐年上升趋势。最直接和最简单的方法是把趋势项?Tt?定义成年平均值，例如?,T?,T?,T?是1991年的数据平均（见图6-4-2）对，T1,T2,T3,T4的趋势项T，这样得到： 1234??T1???T4?5873.0,??T5???T8?5875.0,...............??
T21???T24?6384.5利用原始数据?xt?减去趋势项的估计?Tt?得到的数据基本只含有季节的估计。如果用xj,k?????和Tj,k分别表示第j年第k个季度的数据和趋势项，则时刻?j,k?的时间次序指标k?4?j?1?。
?1??S?k????xj,k?Tj,k? ?6j?1?6??16???x?T??k?4jk?4j?,
?j?0?5(6.4.7)
经计算：
S?1??1004.4， S?2???404.3 S?3???1144.1， S?4??544.0
????????Sj?0??这时，?。最后，利用原始数据xt减去趋势项的估计?Tt?和季节的估计?St?得
????j?14?????到的数据就是随机项的估计（见图6-4-3）：
???Rt?xt?Tt?St, 1?t?24
图6-4-3 季节项和随机项
方法2 回归直线趋势