作出判断或者预测。此外，研究长期趋势的目的之一，也是为了将其从时间序列中予以剔除，以便观察和分析其他各影响因素。
现象发展的长期趋势根据其表现形态的不同，有线性趋势和非线性趋势。下面分别介绍关于这两类趋势的一些重要的分析方法。
2. 线性趋势
线性趋势是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。线性趋势的分析方法有很多，这里只介绍几种常用的方法。
（1）移动平均法
移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。当时间数列的变化趋势为线性状态时，可采用移动平均法进行描述和分析。该方法的基本思想和原理是：通过扩大原时间数列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，由这些平均数形成的新的时间数列对原时间数列的波动起到一定的修匀发展的变动趋势。
设移动间隔长度为K，则移动平均数序列可以写为： Yi?Yi?Yi?1???YK?i?1K （6.4.13）
式中：Yi为移动平均趋势值，K为大于1小于n的正整数。
例6.13 尽管受存款利息降低的影响，但某商业银行由于提高自身的管理和服务水平，近年存款额一直保持增长势头，表6-4-3是该银行1988～1998年存款余额。分别计算三年和五年移动平均趋势值。
表6-4-3 某商业银行1988～1998年存款余额 年份 存款余额（亿元） 年份 存款余额（亿元） 152 189 184 190 212 1988 75 1994 1989 113 1995 1990 128 1996 1991 121 1997 1992 136 1998 1993 156 解 根据式（6.4.14）式得移动平均趋势值如表6-4-4. 年份 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 存款余额（亿元） 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 表6-4-4 存款余额移动平均趋势值
移动平均趋势值 K?3 K?5 — 105.3 120.7 128.3 137.7 148.0 165.7 175.0 187.7 195.3 — — 114.6 130.8 138.6 150.8 163.4 174.2 185.4 — 1998 212 — —
利用移动平均法分析趋势变动时，应注意以下几个问题：
首先，移动平均后的趋势值应放在各移动项的中间位置。比如三项移动平均的趋势值应放在第二项对应的位置上，五项移动平均的趋势值应放在第三项对应的位置上，其余类推。若移动间隔长度K为奇数时，一次移动即得趋势值；若K为偶数时，需将第一次得到的移动平均值再作一次二项移动平均，才能得到最后的趋势值。
其次，移动平均的目的在于消除原数列中的短期波动，因此移动间隔的长度应长短适中。移动间隔越长，所得趋势值越少，个别观察值的影响作用越弱，移动平均序列所表现的趋势越明显，但移动间隔越长，有时会脱离现象发展的真实趋势；若移动间隔越短，个别观察值的影响作用就越大，有时由于不能完全消除数列中短期偶然因素的影响，从而看不出现象发展的变动趋势。一般来说，如果现象的发展具有一定的周期性，应以周期长度作为移动间隔的长度；若时间数列是季度资料，应采用4项移动平均，若为月份资料，应采用12项移动平均。这样移动的结果才能真实表现时间数列的趋势变动。
（2）线性模型法
当现象的发展按线性趋势变化时，还可以用下列线性模型来描述：
? Yt?a?bt （6.4.14）
?式(6.4.15)又称为直线趋势方程。其中： Yt代表时间数列Yt的趋势值; t代表时间标号。
趋势方程中的两个未知常数a和b通常按最小二乘法求得。该方法是根据回归分析中的最小二乘法原理，对时间数列配合一条趋势线，使之满足条件：实际观察值?Yi?与趋势值
???2?Yt?的离差平方和最小，即?(Yi?Yt)?最小值。然后根据所确定的趋势线计算出各个???时期的趋势值，从而观察和描述现象发展的变动趋势，并对未来的趋势值进行预测。最小二乘法既可以配合趋势直线，也可以用于配合趋势曲线。
根据最小二乘法的要求，可以得到趋势线总未知常数a和b的标准求解方程：
???Yt?na?b?t （6.4.15） ?2???tYt?a?t?b?t解得：
?n?tYt??t?Ytb??22nt?(t) （6.4.16） ?????a?Y?bt上述方程中的变量t可以取时间数列中的任何时期为原点。为简便起见，可以取时间数列的中间时期为原点，此时有?t?0，式（6.4.16）可以化简为：
???Yt?na （6.4.17） ?2???tYt?b?t解得：
?a?Y?tYt （6.4.18） ???b?2t??利用表6-4-3中的数据，根据最小二乘法确定存款余额的直线趋势方程，并计算出1988——1998年各年存款余额的趋势值，有关计算见表6-4-5。
表6-4-5 存款余额趋势直线计算表
年份 时间标号t 存款余额（亿元）Yt 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 根据式（6.4.17）得： b?11?11249?66?165611?506?(66)2t?Yt t 2?趋势值Yt 90.9 102.8 114.7 126.7 138.6 150.5 162.5 174.4 186.4 198.3 210.2 1656.0 66111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 212 1656 75 226 384 484 680 936 1064 1512 1656 1900 2332 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 11249 506 165611?11.9364a??11.9364??78.927
?存款余额的直线趋势方程为：Yt?78.927?11.9364t。将t?1,2,?,11代入上述方程，即得1988——1998年存款余额的趋势值，见表6-4-5。将存款余额及其趋势值绘成图6-4-8。将t?13代入方程得2000年存款余额的预测值为：
?Y2000?78.927?11.9364?13?234.1（亿元）
250存款余额(亿元)2001501005001989年1990年1991年1992年1993年1994年1995年1996年1997年1998年存款余额线性 (存款余额)(年份)
图6-4-8 存款余额直线趋势图
3. 非线性趋势
现象发展的长期趋势，通常可以认为是由于某种固定的因素作用同一方向所形成的。若这些因素随着时间的推移按线性变化，就可以对时间数列配合趋势直线；若呈现出某种非线性形态，则需要配合适当的趋势曲线。下面介绍几种常用的趋势曲线。
（1）二次曲线
当现象发展的趋势为抛物线形态时，可配合二次曲线。其一般方程为：
Yt?a?bt?ct2 （6.4.19） 曲线中的三个未知常数a,b,c的标准求解方程如下：
2??Yt?na?b?t?c?t? ??tYt?a?t?b?t2?c?t3 （6.4.20）
2234?tY?at?bt?ct????t??当取时间数列的中间时期为原点时，有?t?0，式（6.4.20）可化简为：
??Y?na?2 ? （6.4.21） ?t?b?t224???tY?a?tc?t例6.15 由于近年银行存款利息的降低，居民存款额有所下降。表6.4.6是某地区1990～1998年各年的存款数据。试配合二次曲线，计算1990～1998年存款额的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。
表6-4-6 某地区1990～1998年存款额
年份 存款余额（亿元） 年份 存款余额（亿元） 1990 1991 1992 1993 1994 105 152 228 255 315 1995 1996 1997 1998 354 351 319 284 解 有关计算过程见表6-4-7。 表6-4-7 存款二次曲线计算表
年份 时间标号t 存款余额（亿元）Yt 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 102 152 228 255 315 354 351 319 284 2360 -408 -456 -456 -255 0 354 702 957 1136 1574 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 1632 1368 912 255 0 354 1404 256 81 16 1 0 1 16 84.8 165.4 230.5 280.0 314.0 332.5 335.4 322.8 294.6 2360.0 t?Yt 2t 2tY 4t ?趋势值Yt 2871 81 4544 256 13340 708
根据式(6.4.21）式得：
2360?9a?60c1574?60b13340?60a?708c
解得：a?314.026,b?26.233,c??7.7706。
?存款额的二次曲线方程为：Yt?314.026?26.233t?7.7706t，
将t代入上式得各年的趋势值见表8.12。将t?5代入方程得1999年的存款额为：
Y1999?314.026?26.233?5?7.7706???5??250.9（亿元）
22将各年存款及其趋势值绘成图6-4-9。
（2）增长曲线
大多数事物在其发展过程中都呈现出以不同的速度率增长或下降，或者由逐渐增长到逐渐衰退等各种不同形态。用于描述这类增长过程的曲线称为增长曲线。由于不同事物的增长形态各异，因而需要不同类型的增长曲线来描述。下面介绍几种常用的增长曲线。