400350300250存款额200150100500存款额多项式 (存款额)1990年1992年1994年1996年1998年(年份)
图6-4-9 居民存款额二次曲线趋势
?①指数曲线。指数曲线用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间数列的观察值Y长及大多数经济数列都属于此类。指数曲线的一般形式为：
t按指数规律变化，或者说时间数列的逐期观察值按一定的百分比增长或衰减。一般的自然增
? Yt?abt （6.4.22） 式中：a,b为未知常数。
若a?1，增长率随着时间t的增加而增加；若a?1，增长率随着时间t的增加而降低；
?若a?0,b?1，趋势值Yt逐渐降低到以0为极限。为确定指数曲线中的常数a和b，可采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，即两端取对数直线形式，即两端取对数得：
? logYt?loga?tlogb （6.4.23） 然后根据最小二乘法原理，按直线形式的常数确定方法，得到求解的标准方程如下：
2???logY?nloga?logb?t ? （6.4.24）
tlogY?logat?logbt?????当取时间数列的中间时期为原点时，?t?0，（6.4.24）式可化简为：
??logY?nloga ? （6.4.25） 2tlogY?logbt???求出loga和logb后，再取其反对数，即得常数a和b。
例6.16根据表6-4-3中的资料，确定1988～1998年某商业银行存款额的指数曲线方程，求出各年存款的趋势值，并预测1999年的存款额，作图与原数列比较。
解 有关计算过程见表6-4-8。 根据式（6.4.24）得：
23.773012?11loga?66logb146.705621?66loga?506logb
解得：a?86.959,b?1.08887
表6-4-8 某存款额指数曲线计算表
年份 时间标号t 存款额（亿元）Yt logY t1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66 75 113 128 121 136 156 152 189 184 190 212 1656 ?t?logYt 2t ?趋势值Yt 94.7 103.1 112.3 122.2 133.1 144.9 157.8 171.8 187.1 203.7 221.8 1652.7 1.875061 4.106157 6.321630 8.331141 10.667695 13.158748 15.272905 18.211694 20.383360 22.787536 25.589694 1.875061 4.106157 6.321630 8.331141 10.667695 13.158748 15.272905 18.211694 20.383360 22.787536 25.589694 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 146.705621 146.705621 506 存款额的指数曲线方程为：logYt?86.959?1.08887将t代入上述方程，即得1988～1998?t。
年存款额的趋势值，见表6-4.8。将存款额及趋势值绘成图6-4-10。将t?12代入方程得1999年的存款额为：Y1999?86.959?1.08887250??12。 ?241.57（亿元）
200存款额(亿元)15010050存款额指数 (存款额)019881990年1992年1994年1996年1998年(年份)
图6-4-10 存款额指数曲线趋势
指数曲线比一般的趋势直线有着更广泛的应用。因为它可以反映出现象的相对发展变化程度，因而对不同数列的指数曲线可以进行比较，以分析各自的相对增长程度。在例6.16合的存款额指数曲线中，a?86.959，表示t?0时存款额的趋势值，b?1.08887表示1988～1998年存款的平均发展速。若将其改为Yt?86.959?1.08887该商业银行存款额的年平均增长速度为8.887%。
②修正指数曲线。在一般指数曲线的基础上增加一个常数K，即为修正指数曲线。其一般形式为：
???t，可以清楚地看出，
Yt?K?ab （6.4.27） 式中：K,a,b为未知常数。K?0,a?0,0?b?1。
修正指数曲线用于描述这样一类现象：初期增长迅速增长迅速，随后增长率逐渐降低，
t?最终则以K为增长极限。即当K?0,a?0,0?b?1时，t??,Yt?K。例如，某种刚刚问世的新产品，初期销售量增长可能很快，当社会拥有量接近饱和时，销售量逐渐趋于某一稳定的水平上。现实生活中有许多事物的发展过程符合修正指数曲线形式。
修正指数曲线中的未知常数可以采用不同方法来求解，如最小二乘法、选点法、三和法等。当极限值K可以预先确定时，可采用最小二乘法；若无法确定时，可采用三和法或选点法。现以三和法为例说明未知常数的求解方法。
三和法是确定修正指数曲线中未知常数的常用方法。其基本思想是：将时间数列观察值
??等分为三个部分，每部分有m个时期，从而根据趋势值?Yt???的三个局部总和分别等于原数?列观察值?Yt?的三个局部总和来确定三个常数。
设观察值的三个局部总和分别为S1,S2,S3，，即
mmt3mt S1??Y,
t?1S1??Y,
t?1S3??Yt?2m?1t （6.4.27）
根据三和法的要求有：
?S1?mK?ab?ab2???abm?mK?ab1?b?b2???bm?1m?1?2m?1 ?S2?mK?abm?1???ab2m?mK?ab （6.4.28） 1?b?b???b?S?mK?ab2m?1???ab3m?mK?ab2m?11?b?b2???bm?1?3??????将上式右端括号内分别乘以??b?1??得： ?b?1???bm?1???S1?mK?ab??b?1????m?m?1?b?1?? ?S2?mK?ab??b?1? （6.4.29）
???m??1?2m?1?b??S?mK?ab?3?b?1????由式（6.4.29）解得：
1??S3?S2?M??b???S?S??1??2?b?1? ?a??S2?S1? （6.4.30） 2mbb?1?m?1?abb?1??S1???K??m?b?1???????? 例6.17某企业1990～1998年电脑产量数据如表6-4-9，试确定修正指数曲线方程，并求出各年电脑产量的趋势值，并预测2000年的电脑产量，作图与原数列比较。
表6-4-9 某企业电脑产量数据
年份 电脑产量（万台） 年份 电脑产量（万台） 1990 1991 1992 1993 1994 13 18 29 48 52 1995 1996 1997 1998 70 74 78 78 解 有关计算过程见表6-4-10。
表6-4-10 表6-4-9脑产量修正指数曲线计算表
年份 1990 1991 1992 S1 t 产量（Yt） 13 18 29 60 48 52 70 170 74 78 78 230 ?趋势值（Yt） 3.3 21.1 35.6 60.0 47.5 57.5 65.2 170.0 71.7 77.0 81.3 230.0 1 2 3 — 4 5 6 — 7 8 9 — 1993 1994 1995 S2 1996 1997 1998 S3 根据式（6.4.30）得： 1?230?170?3b????0.81706?170?60?a??170?60??0.81706?10.81706?0.81706?3?1?2??119.20673
1??119.2067?0.817060.81706K??60?3?0.81706?1??1???100.67??电脑产量的修正指数曲线方程为：Yt?100.67?119.2067?0.81706入方程得2000年的电脑产量。
Yt?100.67?119.2067?0.81706???t。将t代入上述方程
即得电脑产量的趋势值，见表6-4-10。电脑产量与其趋势值的图形见图6-4-11。将t?11代
?11?87.76（亿元）
这一方程说明，从1990～1998年这一时期的统计数据来看，该企业电脑的年产量最终将以100.67万台作为增长极限，根据方程推算，从98年开始大约再经过10年即可达到这一增长上限。
图6-4-11 电脑产量修正指数曲线趋势
c. Gompertz曲线。该曲线是以英国统计学家和数学家B.Gompertz而命名的。曲线方程为：
?Yt?Kabt （6.4.31）
式中：K,a,b为未知常数，K?0,0?a?1,0?b?1。
Gompertz曲线所描述的现象的特点是：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线。该曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。现实中有许多现象符合Gompertz曲线，如工业生产的增长、产品的寿命周期、一定时期内的人口增长等，因而该曲线被广泛应用于现象的趋势变动研究。
为确定曲线中的未知常数，可将其改为对数形式：
logYt?logK??loga?b （6.4.32）
t?然后仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出loga,logK,b，取loga和logK的反对数求得a和K。令
m2mt3mtS1??logYt?1， S2??logYt?m?1， S3??logYt?2m?1t
（6.4.33）
则有：
1?S3?S2b???S?S1?2?m???b?1b?bm loga??S2?S1??1?2 （6.4.34）
m?1?b?b?1??S1??logK??loga??m?b?1?d. Logistic曲线所描述的现象的特征与Gompertz曲线类似，其曲线方程为：
? logYt?1K?abt （6.4.35）
式中：K,a,b为未知常数，K?0,a?0,0?b?1。
曲线中未知常数的确定方法与修正指数曲线类似，只是以观察值Yt的倒数作为计算基础。当Yt?1为小数时，可乘以10的适当乘方，以便于计算。令
m2m?1t3m?1tS1??Yt?1, S2??Yt?m?1, S3??Yt?2m?1?1t
则有：
1??S3?S2?M??b???S?S??1??2?b?1? （6.4.36） ??a?S?S?212mbb?1?m?1?abb?1??S1???K??m?b?1????????
4. 趋势线的选择
上面我们讨论了对时间数列配合趋势线的一般方法。但在实际应用中，对于一个给定的具体时间数列，我们应如何选择所要配合的趋势线的类型呢？趋势线的选择是实际应用中十分重要的一个问题，它直接关系到我们对现象的描述及其规律性认识的结论。趋势线选择得不适当，不仅不能正确描述出现象的数量规律性，有时还会得出与事实相反的结论。困难的是，在许多情况下，我们并不能直接根据时间数列的观察值本身判断出现象的发展形态或趋势。下面我们给出选择趋势线的一些参考依据。
首先，应弄清楚所观察变量的实际意义及其相关的理论知识，根据观察值的变化规律及其散点图的形态确定适当的趋势线类型。这在一定程度上取决于研究者本人的经验及理论知识水平。
其次，可根据所观察的数据本身，按以下标准选择趋势线：若观察值的一次差（逐期增长量）大体相同，可配合直线；若二次差大体相同，可配合二次曲线；若各观察值对数的一次差大体相同，可配合修正指数曲线；若各观察值对数一次差的环比大体相同，可配合Gompertz曲线；若各观察值倒数一次差的环比值大体相同，可配合Logistic曲线。
最后，如果对同一时间数列有几种趋势线可供选择，以估计标准误差最小者为宜。估计标准误差?Sy?的计算公式为：
? Sy??????Yt?Yt??? （6.4.37）
n?m2式中：Yt为实际观察值；Yt为趋势值；n为观察值个数；m为趋势方程中未知常数的个数。