立体几何专题：空间角和距离的计算
一 线线角 1．直三棱柱A1B1C1-ABC，∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值。
B1D1A1F1C1BAC
2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=900，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥面ABCD，PD与底面成300角，（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）若AE⊥PD，求异面直线AE与CD所成角的大小；
PEBACD
二．线面角
1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1、CD的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D1F和AB和所成的角；（2）求D1F与平面AED所成的角。
D1C1B1ECA1DAFB
2．在三棱柱A1B1C1-ABC中，四边形AA1B1B是菱形，四边形BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，
AB=4，C1B1=3，∠ABB1=600，求AC1与平面BCC1B1所成角
B1的大小。 C1 A1 CBA
1
三．二面角
1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点，（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的大小。
B1C1A1BDAC
2．ABCD是直角梯形，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；（2）求SC与面ABCD所成的角。
SABDC
3．已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，∠A1AC=600，∠A1AB=450，求二面角B—AA1—C的大小。
B1A1C1BAC
四 空间距离计算
（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中点，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线；（2）求异面直线AC和BC1间的距离；
D1 C1
A1 B1 NDC
MAPB
2
（点到线，点到面的距离）2．点P为矩形 ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，Q为线段AP的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）点Q到直线BD的距离；（2）点P到平面BDQ的距离；
3．边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=600，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求E到平面PBC的距离。
（线到面、面到面的距离）4. 已知斜三棱柱A1B1C1-ABC的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C，（1）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求侧棱B1B和侧面A1ACC1距离；
B1A1C1BAC
5．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=NB=a（0?a?为何值时，MN的长最小；
2），（1）求MN的长；（2）当a
立体几何中的向量问题空间角与距离
基础自测
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1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 . 答案 45°或135°
2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则该二面角的大小为 . 答案 60°
3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、 F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 . 答案
15 54.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为 . 答案
2a 25.（2008·福建理，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 . 答案
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例1 （2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线 BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz. 则DA=（1，0，0），CC?=(0,0,1). 连接BD,B′D′. 在平面BB′D′D中, 延长DP交B′D′于H.
设DH=(m,m,1) (m＞0),由已知〈DH,DA〉=60°, 由DA·DH=|DA||DH|cos〈DH, DA〉, 可得2m=2m2?1. 解得m=
222,所以DH=（,,1）. 22222?0??0?1?1222(1)因为cos〈DH,CC?〉==, 21?2所以〈DH,CC?〉=45°,
4
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是DC=(0,1,0). 22?0??1?1?0122因为cos〈DH,DC〉==, 21?2所以〈DH,DC〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
例2 在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 解 取AC的中点O，连接OS、OB. ∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC=AC， ∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，
则B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22）， M（1，3，0），N（0，3，2）.
∴CM=（3，3，0），MN=（-1，0，2），MB=（-1，3，0）. 设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，
?CM?n?3x?3y?0?则?，取z=1， ??MN?n?-x?2z?0则x=2,y=-6,∴n=（2，-6，1）.
n?MB∴点B到平面CMN的距离d=n?42. 3例3 （16分）如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF； （3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°. （1）解 当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行. ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC. 又EF?平面PAC，而PC?平面PAC， ∴EF∥平面PAC.
4分
（2）证明 以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
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