∴n=（0，1，1）.
令二面角A—PD—E的平面角为?，
则cos?=-
m?n=m?n125?24=
10， 10故二面角A—PD—E的余弦值是
10. 1011.如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点， OP⊥底面ABC.
（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小； （2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为?3？ 解 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC， 从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，
以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz. （1）设AB=a，则PA=a，PO=22a， A（22a，0，0），B（0，22a，0）， C（-
22a，0，0），P（0，0，22a）， 则D（-24a，0，24a）. ∵PA=(
22a，0，-22a )，BD=(-2224a，-2a，4a)，
1∴cos〈PA,BD〉=PA?BD?4a2?12=4a=-3, PABD3232a则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为33. （2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC， ∴OB=(0，
22a，0)为平面POC的一个法向量. 不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z）， ∵A(
2222a，0，0)，B(0，2a，0)，C(-2a，0，0)，P(0，0，h)， ∴BC=(-
22a,- 22a,0),PC=(- 22a,0,-h), ??x?y由??n?BC?0???0???n?PC?0???22ax?hz?0 11
不妨令x=1，则y=-1，z=-
2a， 2h?OB?n2a即n=(1,-1,- ),则cos=
32hOBn2a22a2a?2?22h2==
11a2=4?h=a, ?2+
222h2∴PA=AO2?PO2=而AB=kPA,∴k=故当k=
311a, a?a2=22423. 3?23时,二面角O—PC—B的大小为.
3312.(2008·湛江模拟)如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4， E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C. （1）求CE的长；
（2）求证：A1C⊥平面BED；
（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.
（1）解 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.
∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0）， C（0，2，0），A1（2，0，4），
B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.
设E点坐标为（0，2，t），则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）. ∵BE⊥B1C，
∴BE·B1C=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.
（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1）， 又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0）， ∴A1C·BE=4+0-4=0， 且A1C·DB=-4+4+0=0.
∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，即A1C⊥DB，A1C⊥BE， 又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE. 即A1C⊥平面BED.
（3）解 由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4）,
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∴cos〈A1C,A1B〉=A1C?A1BA1CA1B=
30. 630. 6
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
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