则P（0，0，1），B（0，1，0）， F（0，
11，），D（3，0，0）. 22设BE=x，则E（x，1，0）， PE·AF=（x，1，-1）·（0，
11，）=0， 22∴PE⊥AF. 10分
（3）解 设平面PDE的法向量为m=(p,q,1), 由（2）知PD=（3，0，-1），PE=（x，1，-1）
??1x??m?PD?0,1?,1?由?，得m=??3?. 3???m?PE?0? 12分
而AP=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,
m?AP2∴sin45°==，
2mAP∴
11?x???1??1?3?3???2=
12, 14分
得BE=x=3-2或BE=x=3+2＞3（舍去）. 故BE=3-2时，PA与平面PDE所成角为45°.
16分
1.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6， OE∥AD.
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值. 解 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直， ∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角. 依题意可知，ABFC是正方形， ∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 则O（0，0，0），
A（0，-32，0），B（32，0，0），D（0，-32，8）， E（0，0，8），F（0，32，0），
∴BD=（-32，-32，8），EF=（0，32，-8）.
6
cos〈BD,EF〉=BD?EFBDEF =0?18?64100?82=-
82. 10设异面直线BD与EF所成角为?，则 cos?=|cos〈BD,EF〉|=
82. 1082. 10即直线BD与EF所成的角的余弦值为
2.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点. （1）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1； （2）求点D1到平面B1EF的距离.
（1）证明 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0）， B（22，22，0），E（22，2，0）， F（2，22，0），D1（0，0，4）， B1（22，22，4）.
EF=（-2，2，0），DB=（22，22，0），DD1=（0，0，4），
∴EF·BD=0，EF·DD1=0. ∴EF⊥DB，EF⊥DD1，DD1∩BD=D， ∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF?平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （2）解 由（1）知D1B1=（22，22，0）， EF=（-2，2，0），B1E=（0，-2，-4）.
设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z) 则n⊥EF,n⊥B1E
即n·EF=（x，y，z）·（-2，2，0）=-2x+2y=0， n·B1E=（x，y，z）·（0，-2，-4）=-2y-4z=0， 令x=1,则y=1,z=-
22,∴n=(1,1,- ) 44∴D1到平面B1EF的距离 d=D1B1?nn22?22=?2??12?12????4???2=
1617. 173.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3， BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
7
解 方法一 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（3，0，0）、C（3，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、 E(0，
1，1)， 2从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）. 设AC与PB的夹角为?， 则cos?=AC?PBAC?PB=
327=
37， 1437. 141，1-z），由NE⊥平面PAC可2∴AC与PB所成角的余弦值为
（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则NE=（-x，得
??1??x,,1?z??(0,0,2)?0???2????NE?AP?0，即?, ?1????NE?AC?0???x,,1?z??(3,1,0)?0?2?????z?1?03??x?化简得?,∴?16
?3x??0??z?12??即N点的坐标为（
33，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，. 66方法二 （1）设AC∩BD=O， 连接OE，AE，BD， 则OE∥PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角. 在△AOE中，AO=1，OE=∴由余弦定理得
75?44?37, cos∠EOA=
1472??121?1175PB=，AE=PD=， 2222即AC与PB所成角的余弦值为
37. 14(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=
AD23=,
cos?ADF3?.连接PF,则在Rt△ADF中, 6DF=
8
AF=AD·tan∠ADF=
3. 3设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF. ∵DF⊥AC，DF⊥PA，
∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC. ∴N点到AB的距离为
1AP=1， 2N点到AP的距离为
13AF=. 26
一、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈DB1,CM〉的值等于 . 答案
210 152.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为 . 答案
2 43.（2008·全国Ⅰ理，11）已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 . 答案
2 34.P是二面角?—AB—?棱上的一点，分别在?、?平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角?—AB—?的大小为 . 答案 90°
5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为 . 答案
35 106.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°， 点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 . 答案 60°
7.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与 平面B1DC所成角的正弦值为 . 答案
4 58.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 . 答案 30° 二、解答题
9.如图所示，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
9
BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点. 求AB与平面BDF所成角的正弦值.
解 以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）. ∴BD=（0，2，1），DF=（1，-2，0）. 设平面BDF的一个法向量为 n=（2，a，b）， ∵n⊥DF，n⊥BD，
??n?DF?0∴? ??n?BD?0?(2,a,b)?(1,?2,0)?0即? ?(2,a,b)?(0,2,1)?0解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.
设AB与平面BDF所成的角为?，则法向量n与BA的夹角为
?-?， 2∴cos（
?BA?n?2,0,0???2,1,?2?2-?）===, 22?33BAn22,故AB与平面BDF所成角的正弦值为. 33即sin?=
10.在五棱锥P—ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC= ∠DEA=90°.
（1）求证：PA⊥平面ABCDE； （2）求二面角A—PD—E的余弦值.
（1）证明 以A点为坐标原点，以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A—xyz，则由已知得 A（0，0，0），P（0，0，2a）， B（2a，0，0），C（2a，a，0）， D（a，2a，0），E（0，2a，0）.
∴AP=（0，0，2a），AB=（2a，0，0），AE=（0，2a，0）， ∴AP·AB=0·2a+0·0+2a·0=0， ∴AP⊥AB.同理AP⊥AE. 又∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE.
（2）解 设平面PAD的法向量为m=(1,y,z), 则m·AD=0，得a+2ay=0，∴y=-又m·AP=0，得2az=0，∴z=0. ∴m=（1，-1，0）. 21. 2再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z), 而ED=（a，0，0），PD=（a，2a，-2a）， 则n·ED=0，得ax=0，∴x=0. 又n·PD=0，得ax+2a-2az=0，∴z=1.
10