4 模型建立及求解
光伏电池的能量来源为太阳能，能量转化过程如图1所示。
光电效应 逆变器 太阳能 电能（DC) ?' 光伏电池? 图1.光伏电池的能量转化原理 电能（AC)
光电幕墙的应用很关键的考虑因素是当地太阳光照辐射情况，它从根本上直接影
响光伏系统工程运行效能和运行成本。故无论电池板如何架设，都必须先计算得受光面（此题中为小屋外墙）所获得的太阳辐射能量。在此基础上建立模型，求解光伏阵列排布和逆变器的最优选择方案。 4.1模型I太阳能辐射计算模型
下面来分析倾斜屋顶接收的太阳辐射量。
基于Hay提出的各向异性漫射模型[1]假定，倾斜面上天空散射辐射量是由太阳光盘的辐射量和其余天空穷地精均匀分布的散射的漫射辐射和地面反射辐射之和是不变的。倾斜面可接受到的太阳辐射量Hr来自以下三方面：
①太阳直射辐射到斜面的部分HbT ②天空散射到辐射面的部分HdT ③地面反射到斜面的辐射量HrT 即Hr?HbT?HdT?HrT。（1）
HbT与水平面直接辐照量Hb之间有如下关系： （2） HbT?HbRb
H?HdH?Hd1?cos? （3） HdT?Hd[Rb?(1?)]
H02H0式中，Hd和H分别为水平面上散射辐射及总辐射量，H0为大气层外水平面上辐射量，它可以由下式求出：
24360n?H0?Isc(1?0.033)(cos?cos?sin?s??ssin?sin?)，（4）
?365180其中，Isc为太阳常数，取1.1。
1?cos?) 地面反射辐射量HrT??H( （5） 2将（2）~（5）代入（1）得倾角为?的倾斜面上的总辐射照度为：
H?HdH?Hd1?cos?1?cos?Hr?HbRb?Hd[Rb?(1?)]?H()?（6）
H02H02其中，Hr为倾斜面上太阳总辐射强度（W/m2）；Hb为水平面直接辐射强
度；Hd为水平面散射辐射强度；H为水平面总辐射强度；?为光伏电池板平均反射率，与加工工艺和表面涂层有关，通常在15%~25%左右，这里取20%；Rb为倾斜面上和水平面上直接辐射的比值。
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天顶太阳接收面法线N?W阳光光伏阵列βα?E水平线太阳投影 图1.倾斜面与水平面辐射直射关系
(左：任意表面方位角情况，右：正南情况）
对于偏离赤道方位角为?的倾斜平面上太阳辐射量的计算，普遍采用Klein模型：
?Rb?[(?ss??st)sin?(sin?cos??cos?sin?cos?)?...180（7） ?cos?(sin?ss?sin?st)(cos?cos??sin?sin?cos?)?...S?180（?：赤纬角；?s：时角；纬度?=40.1°；?：太阳高度角；?：表面方
?(cos?ss?cos?st)cos?sin?sin?]/[2(cos?cos?sin?s??sin?sin?)]位角，即倾斜表面法线在水平面上投影线与南北方向之间的夹角，正南方取0，偏东为负偏西为正；?：表面与水平面之间的夹角。）
（7）中?sT和?ss分别为倾斜面上的日出和日落时角，
ac???min{?,arccos(?)?arcsin()}sss?DD?（8） ???sT??min{?s,arccos(?a)?arcssin(c)}?DD?式中：
a?sin?(sin?cos??cos?sin?cos?)b?cos?(cos?cos??sin?sin?cos?)
c?cos?sin?sin?D?b2?c2特别地，当倾斜面为正南方向时，??0,公式（7）化为
??sTsin(?-?)sin??cos(???)cos?sin?sT180（8） Rb??cos?cos?cos?s??ssin?sin?180将附件中大同地区365天内每天24小时太阳光直射、散射能量、时角、赤纬角等数据代入（1）和（4）式，并借助Matlab软件辅助计算，得到该年朝南
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倾斜屋顶接受的总太阳辐射量约为1564.49kw·h/㎡，一小时最大辐射量为1050 kw·h/㎡；同理，根据所给数据中各立面每小时辐射总量，可求出东、南、西、北立面接收的年太阳辐射量为594.21、1050.16、881.23、261.47（单位：kw·h/㎡）
4.2模型II：光伏方阵分组模型
为保证光伏组件正常工作，在设计分组时应遵循如下原则： 原则一（串并联约束）：在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。
原则二（电压约束）：多个光伏组件串联后并联接入逆变器，输出电压应在所选用逆变器的额定工作电压（V）范围内，且并联的光伏组件端电压相差不应超过10%。
原则三（功率约束）：光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量。 基于以上三个原则，针对题中所给的24种规格（6种单晶硅电池、7种多晶硅电池、11种薄膜电池）光伏电池进行排列组合，求得符合并联条件的分组组合。
由于不同材料的光伏电池对光的利用率存在差异，由附件说明可知，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥80W/m2、薄膜电池表面总辐射量≥30W/m2，故在低光照（30~80 W/m2）下，前两种电池不工作，端电压为0，而薄膜电池可启动，显然与原则二相悖，易知，前两种电池不可能与薄膜电池并联，应分开考虑。
具体实现分组的算法如下： step1.
根据所给逆变器参数表，输出电压为AC220/50Hz的逆变器所允许的输入电压范围为21~32、42~64、99~150、180~300（单位：V)，基于原则二，在端电压上限为300V的前提下计算24种规格电池板各自的最大串联数目n（ii=1,2,...,24)，并求出1~ni块板串联的端电压和总功率。例如开路电压为V0、功率为P的电池，
300n?[]，则该型号电池可能构成的串联端电压U为V0,2V0,...,nV0。由此可得
V0?n个可能的电池串和端电压。
ii?124step2.
对于第一步中得到的端电压为U的电池串，可以与之并联的电池串端电压
U'U'应满足U'?U?，并联电池组的端电压即为U。若U不在任何逆变器输入
1.1电压允许范围内，则将该组删除。至此，可求得符合电压约束的可并联电池分组。
step3.
(1?ni)niPi。其中，Pi为单块第i求各条电池串输出功率P=(1?2?...ni)Pi?2种规格电池在全年最大辐射度情况下的输出功率，即
22P?光电转换效率? i(W)?最大辐射度(W/m)?受光面积(m）基于原则三，若分组中存在某一电池串串联功率大于可选逆变器最大容量，则应将该组删除。
注意，这里不涉及对具体逆变器的选择，故对于原则三的约束此处只作为
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必要条件对分组情况进行筛选，将“光伏阵列的最大功率不能超过逆变器的额定容量”的约束转化为“串联阵列最大功率≤逆变器容量”，对于并联阵列总功率的限制将在下文中将做进一步讨论。
利用Matlab编程实现以上分组算法，得到131个符合并联条件的分组阵列，视每个光伏阵列中各串联电池串“等价”，则最大等价电池串数目为13。分组结果记为矩阵A131?13.
(a1,2,b1,2)?(a1,13,b1,13)??(a1,1,b1,1)?(a,b)?(a,b)?(a,b)2,12,12,22,22,132,13? A??????????(a,b)(a,b)?(a,b)131,2131,2131,13131,13??131,1131,1该矩阵中二元组元素(aij,bij)表示一条串联支路，它由bij个aij型号的电池板
串联组成；每一行表示一个并联分组阵列，该行联电池串“等价”；若可并联电池串不足13，则记为（aij,0）。 4.3模型III（问题一）：贴附安装方式下光伏电池组设置优化模型 4.3.1问题分析
本问题要求中，针对太阳能小屋外墙面光伏电池铺设方案进行设计为多目标优化问题，所基于的目标有二：
（1）发电量目标，即小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大； （2）成本目标，即单位发电量的费用尽可能小。
而实际在设计节能房屋时，出于经济可行性的考虑也是必须的。鉴于所给三种不同材质的电池板性能和价格方面有很大差异，因此，若要使在太阳能小屋35年寿命期限内收回成本，使电板35年内产生收益大于投入成本，则使用不同材质的电池板所需要的年阳光辐照量临界值为：A型（单晶硅）：946.03kw·h/㎡，B型（多晶硅）：793.65kw·h/㎡，C型（薄膜电池）：304.76k w·h/㎡。而外墙立面实际接收的年阳光辐照度分别为：
表1. 不同朝向立面实际接收的年阳光辐照度
立面朝向 东 南 西 北 年阳光辐照量
594.21 1050.16 881.23 261.47
（kW·h/m2） 可选板型 C A，B,C B,C /
A,B型电池光电转化效率高（?在15%左右），但对低光照情况和温度变化
适应性较差（启动发电的表面总辐射量≥80W/m2），且成本较高；C型电池相对廉价，且对低光适应性好（启动发电的表面总辐射量≥30W/m2），但光电转化效率低（?在5%左右）。西面虽满足B板临界光照要求，但二者很接近，盈利空间过小，舍弃。故对于各朝向建筑外表面面铺设光伏电池的决策为：东、西取C型，南和朝南屋顶取A,B型，朝北屋顶和北墙无论铺何种电池板都将亏本，故不进行铺设。这大大降低了问题规模。下面对东、西、南、朝南屋顶的电池板铺设和逆变器选取问题进行优化设计。
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4.3.2模型准备
对应矩阵A，求出价格矩阵M、面积矩阵S和功率矩阵P，对应表示出每条串联光伏阵列支路的价格mij，面积sij和功率pij。
针对两个优化目标，分别作如下定义： 定义一.
发电量Q=电池板接收的太阳能×光电转化效率?×逆变效率?'×80%（逆变器电路阻性负载）
定义二.
(电池板成本?逆变器成本)? 单位发电量费用C?年平均发电量H为单位面积太阳辐照量，H1、H2分别针对AB型号和C型号电池板，为简化逆变器对输入电压下限限制，进行电池表面太阳光辐照阈值的假设，令
?H,H?80?H,H?30，H2??，即当电池表面光照低于阈值时逆变器输出H1??0,其他0,其他??电量为0。
设整数变量zij为并联电路中Aij?(aij,bij)的数目，其单串元件面积规格为sij，覆盖面积为zijsij；光电转化效率为?ij，发电量为zijsijH?ij。
设0-1变量yik表示第i个并联分组是否选择第k种逆变器（逆变效率记为，是为1，否为0，。由模型I结果知，在矩阵Aij中，A、B型电池板并联组?k'）
合为第1~61行，C型为第62~131行，并联组合中“等价”电池串最多有13条，可供选择的逆变器共16种。令n1?61,n2?131,n3?13,n4?16。
??0,zij?0设0-1变量xij，xij??。
1,z?0??ij在一年t?365?24?3600s内，年发电量为： Q??QAB??QC?t[?(?zijsij?ijH1??0.8yik?'ik)??(?zijsij?ijH2??0.8yik?'ik)];i?1j?1k?1i?n1j?1k?1n1n3n4n2n3n4
设Aij价格为mij，第k种逆变器价格为mk'，则单位发电量的费用为：
?(?zm??yijijn2n3n4ikm'k);
C?i?1j?1k?1Q4.3.3模型建立
在这个多目标优化问题中，要使目标一最大，目标二最小。故可将目标函
Q数定为maxf?.决策变量为xij,yik,zij。
M在建筑表面铺设电池板时，应在模型II基础上，新增一个原则： 原则四（面积约束）：每个墙面铺设的电池板总面积不超过墙面（屋顶）建设面积。
依据原则一至四，建立如下数学模型：
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