§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
1．函数的定义域
(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．
②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R.
④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π??
⑤y＝tan x的定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.
??⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 2．函数的值域
(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.
4ac－b
②y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?，＋∞?；当a<0时，值域为
?4a?
2
?－∞，4ac－b?.
4a??
2
2
k③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．
x④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R. ⑥y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． ⑦y＝tan x的值域是R. 3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．
(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，
再求系数．
1?
(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f??x?或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．
(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式． [难点正本 疑点清源]
1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．
2．(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围． (2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域． (3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．
1．(课本改编题)函数y＝x＋1＋
1
的定义域为____________． 2－x
答案 [－1,2)∪(2，＋∞)
??x＋1≥0解析 ?，∴x≥－1且x≠2.
?2－x≠0?
1
2．(2011·安徽，文13)函数y＝的定义域是________．
6－x－x2
答案 {x|－3 解析 要使函数有意义，只需6－x－x2>0，∴x2＋x－6<0， ∴－3 3．(课本改编题)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为__________． 答案 (0，＋∞) 解析 由3x>0知3x＋1>1. 又f(x)在(0，＋∞)为增函数且f(1)＝0， ∴f(x)＝log2(3x＋1)>0. 2 11＋x?4．(课本改编题)已知f??x?＝1－x2，则f(x)＝__________. x2＋1 答案 2 (x≠0) x－111 解析 令＝t，则x＝且t≠0， xt1?21＋??t?t2＋1 ∴f(t)＝＝， 1?2t2－1?1－?t?x2＋1 即f(x)＝2(x≠0)． x－1 题型一 求函数的定义域 3x2 例1 (1)(2011·徐州模拟)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域为__________． 1－xln?x＋1? (2)(2011·聊城模拟)函数y＝的定义域为__________． －x2－3x＋4 思维启迪：定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合．注意对数、根式和分式． 1 －，1? (2)(－1,1) 答案 (1)??3???1－x>01 解析 (1)由?，得－ 3?3x＋1>0? ??x＋1>0 (2)由?2，得－1 ?－x－3x＋4>0? 探究提高 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： ①分式中，分母不为零； ②偶次根式，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0； ④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束． (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系． 1 (1)(2011·江西，理3)若f(x)＝，则f(x)的定义域为 ( ) 1 log?2x＋1?2 1?－1，0? ?－1，＋∞? －，0? A.? B. C.D．(0，＋∞) ?2??2??2?答案 A 11解析 要使f(x)有意义，需log(2x＋1)>0＝log1， 22 1 ∴0<2x＋1<1，∴－ 2x－4 (2)若函数f(x)＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是__________． mx＋4mx＋330，? 答案 ??4?解析 f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立． ①当m＝0时，符合条件． ②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×3<0， 3 即m(4m－3)<0，∴0 30，?. 综上所述，m的取值范围是??4? 题型二 抽象函数的定义域 例2 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域． 思维启迪：先求f(x)的定义域，再求f(log2x)的定义域． 解 ∵f(2x)的定义域是[－1,1]， 1?1 ∴≤2x≤2，即y＝f(x)的定义域是??2，2?， 21 由≤log2x≤2?2≤x≤4. 2 ∴f(log2x)的定义域是[2，4]． 探究提高 已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]． 已知f(x)的定义域是[0,4]，求： (1)f(x2)的定义域； (2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域． 解 ∵f(x)的定义域为[0,4]， (1)有0≤x2≤4，∴－2≤x≤2. 故f(x2)的定义域为[－2,2]． ?0≤x＋1≤4，?(2)有?∴1≤x≤3. ?0≤x－1≤4，? 故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]． 点评 如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合． 题型三 求函数的值域 例3 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x (x∈[0,3])； x－3(2)y＝； x＋1(3)y＝x－1－2x； (4)y＝log3x＋logx3－1. 思维启迪：根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)可用配方法；(2)用分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)用基本不等式求解． 解 (1)(配方法) y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15， 即函数y＝x2＋2x (x∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)(分离常数法) x－3x＋1－44y＝＝＝1－. x＋1x＋1x＋144因为≠0，所以1－≠1， x＋1x＋1即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． (3)方法一 (换元法) 1－t2 令1－2x＝t，则t≥0且x＝， 2 1－t21 于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1， 22 1?1? 由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是?y|y≤2?. 2??方法二 (单调性法) 1?11 容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以y≤f??2?＝2，2 1?? 即函数的值域是?y|y≤2?. ??(4)(基本不等式法) 函数定义域为{x|x∈R，x>0，且x≠1}． 当x>1时，log3x>0， 1 于是y＝log3x＋－1≥2log3x 1log3x·－1＝1； log3x 当0 11 y＝log3x＋－1＝－??－log3x?＋?－logx??－1≤－2－1＝－3. log3x??3??故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 探究提高 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解． 求下列函数的值域： x2－x (1)y＝2； (2)y＝2x－1－13－4x. x－x＋1解 (1)方法一 (配方法) 1 ∵y＝1－2， x－x＋1 133x－?2＋≥， 又x2－x＋1＝??2?44141 ∴0<2≤，∴－≤y<1. 3x－x＋131 －，1?. ∴函数的值域为??3?方法二 (判别式法) x2－x 由y＝2，x∈R， x－x＋1得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0. ∵y＝1时，x∈?，∴y≠1. 又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0， 1 解得－≤y≤1. 3