11
－，1?. 综上得－≤y<1.∴函数的值域为??3?3(2)方法一 (换元法)：设13－4x＝t，
13－t2
则t≥0，x＝，
4
13－t2
于是f(x)＝g(t)＝2·－1－t
4
1111
＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋6，
222显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
11
所以g(t)≤g(0)＝，
2
11－∞，?. 因此原函数的值域是?2??
13??
方法二 (单调性法)：函数定义域是?x|x≤4?，
??当自变量x增大时，2x－1增大，13－4x减小， 所以2x－1－13－4x增大，
因此函数f(x)＝2x－1－13－4x在其定义域上是一个单调递增函数， 13?1113
所以当x＝时，函数取得最大值f??4?＝2， 4
11－∞，?. 故原函数的值域是?2??题型四 求函数的解析式 11
x＋?＝x2＋2，求f(x)的解析式； 例4 (1)已知f??x?x2?
(2)已知f??x＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
1?(4)已知f(x)满足2f(x)＋f??x?＝3x，求f(x)的解析式．
11
解 (1)令x＋＝t，则t2＝x2＋2＋2≥4.
xx
1
∴t≥2或t≤－2且x2＋2＝t2－2，
x∴f(t)＝t2－2，
即f(x)＝x2－2 (x≥2或x≤－2)．
22(2)令＋1＝t，由于x>0，∴t>1且x＝，
xt－1
2
∴f(t)＝lg ，
t－12
即f(x)＝lg (x>1)．
x－1(3)设f(x)＝kx＋b，
∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b] ＝kx＋5k＋b＝2x＋17. ?k＝2?k＝2??∴?，即?. ??5k＋b＝17b＝7??
∴f(x)＝2x＋7.
1??1?＋f(x)＝3. (4)∵2f(x)＋f?＝3x，∴2f?x??x?x1
∴f(x)＝2x－ (x≠0)．
x探究提高 函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
1?(4)方程思想：已知关于f(x)与f??x?或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
(2011·武汉模拟)给出下列两个条件：
(1)f(x＋1)＝x＋2x；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式． 解 (1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2. 则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1 (x≥1)．
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3，
∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ???4a＝4?a＝1∴?，∴?，∴f(x)＝x2－x＋3. ?4a＋2b＝2?b＝－1??
1．函数问题首先要考虑定义域
试题：(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域． 学生解答展示
审题视角 (1)f(x)的定义域；(2)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域． 规范解答
解 ∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，
要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9， ∴1≤x≤3，[3分]
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．[4分] 又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[6分] ∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，[8分]
∴ymax＝(1＋3)2－3＝13，ymin＝(0＋3)2－3＝6.[10分] ∴函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为[6,13]．[12分]
批阅笔记 (1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识． (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的讨论范围扩大． (3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范.
方法与技巧
1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组)；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义. 2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域．
3．函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件． 失误与防范
1．求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用． 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．特别要重视实际问题的最值的求法．
2．对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质．
课时规范训练
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1．(2011·烟台模拟)函数y＝
1
＋lg(2x－1)的定义域是 ( ) 3x－2
2
，＋∞? A.??3?
1
，＋∞? B.??2?
2
，＋∞? C.??3?
12?
D.??2，3?
答案 C
??3x－2>02解析 ?，得x>. 3?2x－1>0?
2．(2011·茂名模拟)已知函数f(x)＝lg(x＋3)的定义域为M，g(x)＝等于
1
的定义域为N，则M∩N2－x
( )
A．{x|x>－3} B．{x|－3 D．{x|－3 答案 B 解析 M＝{x|x>－3}，N＝{x|x<2}． ∴M∩N＝{x|－3 2 3．(2011·北京丰台模拟)已知f??1－x?1＋x?? ?＝1－x1＋x2，则f(x)的解析式为 A.x1＋x2 B．－2x 1＋x2 C.2x1＋x2 D．－x 1＋x2 答案 C 解析 方法一 (特殊值法)： 对于f??1－x?1＋x??1－x2?＝ 1＋x2，令x＝0， 代入其中有f(1)＝1，经检验只有选项C才满足f(1)＝1. 方法二 (换元法)： 令t＝1－x1－1＋x，由此得x＝t1＋t ， 1－??1－t所以f(t)＝?＋t??21?＝2t ， 1＋??1－t?1＋t??? 21＋t2从而f(x)的解析式为f(x)＝2x 1＋x2. 4．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是 A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1 C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1 答案 C 解析 当a＝0时，f(x)＝x＋1为一次函数． 二、填空题 5．(2011·浙江五校联考)函数y＝log2?4－x?的定义域是__________． 答案 (－∞，3] ( ) ( ) ???4－x>0?4－x>0?解析 由，即?，得x≤3. ?log2?4－x?≥0???4－x≥1 1?1 ，3，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________． 6．若函数y＝f(x)的值域是??2?f?x? 102，? 答案 ?3?? 11 解析 F(x)＝f(x)＋≥2，当且仅当f(x)＝， f?x?f?x?即f(x)＝1时取等号． 115 又当f(x)＝时，F(x)＝＋2＝. 222 110 当f(x)＝3时，F(x)＝3＋＝. 33102，?. ∴F(x)的值域为?3?? 7．(2011·上海，文14)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在[0,3]上的值域为________． 答案 [－2,7] 解析 设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]． ∵函数g(x)是以1为周期的函数， ∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]， 当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]． 综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]． 8．若函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域是__________． 1? 答案 ??2，2? 1 解析 由－1≤log2x≤1得log2≤log2x≤log22， 2 1 由y＝log2x在(0，＋∞)上递增，得≤x≤2. 2三、解答题 9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数y＝f(x2－2)的值域． 解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又f(0)＝0， ∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx. 又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1. ∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1， 1a＝?2a＋b＝b＋12? ∴?，解得. 1?a＋b＝1? b＝2 11 ∴f(x)＝x2＋x. 22 ? ??