方程x?Xx?1?0有实根的概率为P?24. 5217 已知随机变量X服从正态分布N(a,a),且Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），求a,b. 解：由
37
页例
3
知Y?aX?b服从正态分布
N(a?a?b,a2?a2)?N(a2?b,a4)，又已知 Y?aX?b服从标准正
态分布N（0，1），故a=1,b= -1.
18已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ X
服
从
参
数
为
λ
的
指
数
分
布
，
则
???e??x,f(x)???0,?1??e??x,x?0,x?0, F(x)??x?0.x?0.?0,g(?)?P{1?X?2)?(1?e?2?)?(1?e??)?e???e?2?
g?(?)??e???2e?2??e??(2e???1)?0,???ln2.求极大值，求导
19设随机变量 X～N(1,4);求P(0?X?1.6),P(X?1). 解：由35页（5）式有：P{0?X?1.6}??(1.6?10?1)??() 221??(0.3)??(?)?0.6179?(1?0.6915)?0.3094
21?1P{X?1}??()??(0)?0.5.
220 设电源电压（单位：V）X
服从N(220,25)，在
2X?20,020?0X?24,0X?24三种情况下电子元件损坏的概率0分别为0.1，0.001，0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α 解
：
由
35
页
（
5
）
式
有
：
P{X?200}??(200?220)??(?0.8)?1?0.7881?0.2119 25240?220200?220P{200?X?240}??()??()?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0..57622525P{X?240}?1?P{X?200}?P{200?X?240}?1?0.2119?0.5762?0.2119
11
??0.2119?0.1?0..5762?0.001?0.2119?0.2?0.063
(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。
?? X Pk 0.5762?0.001?0.009
0.063-1 1 621随机变量X的分布律为： -2 2 50 1 51 2 53 1 30求Y?X2的分布律。
Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有： Y?X2 4 -2 2 51 -1 1 60 0 1 51 1 2 59 3 1 30 X Pk 得Y?X2的分布律为
Y?X2 Pk 0 2 51 7 304 1 59 1 30
22 设随机变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X及X的分布律。
解：X参数为0.7的0—1分布。
222?2XP{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3,P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7 23
设随机变量
X
的概率密度函数为
fX(x)?1?(1?x)2,求Y?2X内的概率密度函数fY(y).
解：对任意的Y.
yFY(y)?P{Y?y}?P{2X?y}?P{X?}??2fX(x)dx
??2y??y12dx，所以： ???(1?x2) 12
?(y)?fY(y).?FY2?(4?y)2.
224设随机变量X服从U[0,2],求随机变量Y?X在[0，4]内的概率密度函数fY(y). 解：当0?Y?4时：
FY(y)?P{Y?y}?P{y?X0y12?y}??f(x)dx
?yXy???y0dx??02dx，所以：
?1,0?y?4,??(y)??4yfY(y).?FY
?0,其它.?25
设随机变量
X
的概率密度函数为
??xfX(x)??e,x?0,,求Y?eX的概率密度函数fY(y).
?0,x?0,解
：
当
Y?1时：
FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?0,
当Y?1时：
FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}??
所以：
1??0dx??lny?xedx,1?1?2,y?1,?(y)??yfY(y).?FY
?0,y?1.?
补充：设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度，
(1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，x?h(y)?lny,1h?(y)?,??min{e??,e??}?0,??max{e??,e??}???y 13
?(lny)2??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??y?0,?0,(2)因Y?2X2?1?1则Fy(y)?0,(y?1)，当Y?1时，
y?12x?e22Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{?y?1?X?y?1}??1y?12dx?2?01x2?e2dx22?y?122??y?f?1?14Y(y)??2?(y?1)e,y?1,??0,y?1
习题三
1.离散随机变量
X与Y相互独立同分布，
P{X??1}?P{Y??1}?12,P{X?1}?P{Y?1}?12.求P{X?Y}的概率. P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?12..
即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般不会以概率1相等.
2设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表：
X 0 1 2 Y 0 0.06 0.15 0.09 1 b 0.35 0.21 (1) 求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求P{X?1,Y?1} 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表：注意横X竖Y
X 0 1 2 P{Y=j} Y 0 0.06 0.15 0.09 0.3 1 0.14 0.35 0.21 0.7 P{X=i} 0.2 0.5 0.3 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j};i?0,1,2;j?0,1;故X,Y相互独
立；
（3）P{X?1,Y?1}?0.06?0.15?0.14?0.35?0.7.
补充题：设X和Y是相互独立同分布的随机变量，且
14
02?P{X?1}?P{Y?1}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}P{X?Y?2}?P{X?Y?4}?1,4?P{X?2,Y?1}?12,
1, 411（2）由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;
223 设
P(A)?111,P(AB)?,P(BA)?,433令?1,A发生,?1,B发生,求X,Y的联合概率分布。 X??Y??0,A不发生,0,B不发生,??解：由
P(A)?
1131P(AB)11211,P(AB)?,?P(A)?,P(AB)?,P(B)???,P(AB)?43412P(AB)13461P(AB)6212P(BA)???,P(BA)??P(BA)? 3933P(A)4111P?P{X?1,Y?1}?P(A)P(B/A)??. 114312121P?P{X?1,Y?0}?P(A)P(B/A)??. 12436321P21?P{X?0,Y?1}?P(A)P(B/A)??.
49128P22?P{X?0,Y?0}?1?p11?p12?p21?.
124设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表： X Y 1 2 P{X=i} 1 2 P{Y=j} 0 1 21 21 31 61 21 32 31 （1）求X,Y的边缘分布律。 解：见上表。
（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。
5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，
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