D(X)?E{[X?E(X)]2},上式表明E{(X?c)2}当c?E(X).时取到最
小值。
证明：因为
E{(X?c)2}?D(X)?E(X2.)?2cE(X)?c2?{E(X2)?[E(X)]2}
?c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0.
所以：??。
?x2??x2?15设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2e2?,x?0,???x?0.?0,其中??0,是常数.求E(X),D(X).
E(X)??2??0??x22?x22?22?eex2?)dx??x2???0??22xde2???xe2??x2?x2??0??0???x22?2edx，
?0???(d()?2??4??22?x22?2?x22?2??0???x2E(X)?22?0??x3x22?2?2eedx???0???xde2???xe2??02e2?dx2??2??0???x22?2d(?x22?2x22??)??2?e2?0?2?2? DX?(2?)?2
216设随机变量X～N(0,4),随机变量Y服从（0，4）上的均匀分布，并且X与Y相互独立，求D(X?Y),D(2X?3Y),E(X?2Y).，
2(4?0)24?,；又解：由已知及75页4 76页 7有D(X)?4,D(Y)?123X与Y相互独立，再由73页知： D(X?Y)?D(X)?D(Y)?16. 3D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28.
26
E(X?2Y)2?E(X2)?4E(X)E(Y)?4E(Y2)?D(X)?[E(X)]2?4E(X)E(Y)?4{D(Y)?[E(Y)]2} 41?4?0?4?0?2?4(?22)?25.3317 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为
X1,X2,X3,X4,X5,已知X1服从N(200,225),X2服从N(240,240),
X3服从N(180,225),X4服从N(260,265),X5服从N(320,270)X1,X2,X3,X4,X5,相互独立，
（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。
（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？ 解：（1）记X?i?1?Xi,?E(X)?200?240?180?260?320?1200.
5D(X)?225?240?225?265?270?1225.
（2）X?i?1?Xi,～N(1200,1225)即N(1200,352).
5X?1200T?1200P34(5)T?1200P(X?T)?P(?)??()353535查表T?1200 ?0.99??(2.33),?2.3335T?35?2.33?1200?1282(kg)18 设随机变量X服从某一期间上的均匀分布，且E(X)?3,D(X)?（1）求X的概率密度。 （2）求P{X?2}； （3）求P{1?X?3}.
1. 3?b?a?3,??b?a?6,?2?a?4,?a?2,??解：（1）???b?2,or?b?4,故 22(b?a)1(b?a)?4????,??3?12?1?,2?x?4, （2）P{X?2}?0 f(x)??2??0,其它, 27
（3）P{1?X?3}??120dx??1dx?. 2223119 重复掷一均匀硬币n次，记X为正面出现的次数，X与YY为反面出现的次数，求X与Y的相关系数。
Y?n?X,?XY?解
2E{[X?E(X)][n?X?E(n?X)]}D(X)D(n?X)
??{E[X?E(X)]}?D(X)???1D(X)D(X)20设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求
D(2X?Y),D(X?2Y).
解：由77页：
D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)
?4D(X)?D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?116?4?0.4?5?4?148.D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)
?D(X)?4D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?25?64?4?0.4?5?4?5721 设A,B是试验E的两个随机事件，且P(A)?0,P(B)?0,定义随机变量X,Y如下：
?1,A发生,?1,B发生, X??Y??0,A不发生,0,B不发生,??证明：若?XY?0,则X和Y必定是相互独立的。 解
：
P78?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}?P(AB)?P(A)P(B)?0,由16页定理2?A,B;A,B,A,B相互独立,?,故X和Y相互独立.
22设随机变量(X,Y) 的概率密度为f(x,y)???XY?0,?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?1,?0,y?x,0?x?1,求：
其它,E(X),E(Y),Cov(X,Y),
解
：
28
1x???1dy?1?y,?1?y?1,?1dy?2x,0?x?1,fY(y)???yfX(x)????x?? , ,?0,?0,故
(奇)12E(X)??2xdx?,E(Y)??(1?y)ydy?0
0?13121x(奇)E(XY)??xdx?0Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.23 在圆心在原点的单位圆周上任取一点，记θ为该圆心角，(X,Y)为该点的坐标，证明：
X与Y不相关，但X与Y不相互独立。
?xydy?0?
?1?,0???2?,?X?cos?,f(?)??2??Y?sin?,
?其它,??0,E(XY)??2?124?2?1E(Y)??sin?d??0,??XY?0,但X2?Y2?102?0cos?sin?d?2?1?0,E(X)?cos?d??0,02??
24设随机变量(X,Y)服从区域D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}上的均匀分布，求相关系数?XY. 答案：0
25设随机变量X服从N(?,?),Y服从N(?,?),且X,Y相互独立，试求
22Z1??X??Y和Z2??X??Y的相关系数（其中?,?是不为零的常数）。
解
：
E(Z1)?(???)?,E(Z2)?(???)?,E(Z1Z2)?E(?2X2??2Y2) 因
为
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2)?D(X)?[E(X)]2??2??2.
同理E(Y)??22??2.故E(Z1Z2)?(?2??2)(?2??2).
222因X,Y独立，故D(Z1)??D(X)??D(Y)?(???2)?2.
29
同理D(Z2)?(?2??2)?2.故：
?Z1Z2?2E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)D(Z1)D(Z2)222222?(???)(???)?(???)?(???)?2222???????222 2.26 对于随机变量V,W;若E(V),E(W)存在，证明（Cauchy-Schwarz）不等式：
2[E(VW)]2?E(V2)E(W2)
证
明
：
对
任
意
的
t?R,有
E(V?tW)2?0.?t2E(W2)?2tE(W)?E(V2)?0.
故
??[2E(VW)]2?4E(W2)E(V2)?4[E2(VW)?E(W2)E(V2)]?0.
即[E(VW)]?E(V)E(W)。
27已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。 解：由83页知：
222P{5200?X?9400}?1?{P(X?5200)?P(X?9400)}
?1?P(X?5200?X?9400}?1?P(X?7300?2100) P8318?1??1??.99210027002
28 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现
随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。
??e??x,x?0,解：75页5：Xi(i?1,2,?,16)～f(x)??70页3：
x?0,?0,E(X)????0?xe??x????x1已知??x??dx??xe?edx??10000??(1)
E(X2)????0?x3e??xdx??x2e??x1由(1)????x2???2xedx?00?2?
D(X)?E(X2)?[E(X)]2?
?2?1002,30