X1,?,Xn独立同分布P74:D(Xi)??1n1?D(X)?D(?Xi)?D(Xi)?.ni?1nn
n?1?2E(S)?E?(?Xi?nX?n?1??i?1??nn?{D(Xi)?[E(Xi)]2}?{D(X)?[E(X)]2 n?1n?1nn??{???2}?{??2}??n?1n?1n27总体X～N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，（1）求（2）求X的概率密度。 X1,X2,?,Xn的联合概率密度。
（1）??????e2????1n?i?1?(xi??)22?2n（2）
12???ne2(??(x??)2n)2
8
设X1,X2,?,Xn,Xn?1,?,Xn?m是来自正态总体
N(0,?2)的容量为n?m的样本，求下列统计量的抽样分布：
（1）Y?1n?mi?1?2?Xi2;m?Xi(2)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?m?Xi2(3)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?解（1）?(n?m), （
2
）
2 36
n2XiXii?n?1服从?2(m),i?1服从N(0,1);2n?n?m???m?XiY?nXi2i?n?1i?1n?mni?1?Xin?(相当于N(0,1)n??Xi2i?n?12n?m??2(m)m)服从t(m);m?
m?Xi2(3)Y?ni?1n?mni?1?Xi2n?2;服从F(n,m).
n?Xi2i?n?1?n?mi?n?1?Xi2m?2
补充：设X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，求变量样本均值X的数学期望与方差。
解：由于X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，故
1E(Xi)?n,D(Xi)?2n，E(X)?n1n?i?1nE(Xi)?1?n?n?n， nD(X)??D(Xi)?n2?n?2n?2 n2i?113设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的极大似然估计和矩估计， 解：先求极大似P{X?k}?然e??,估 计：?kk!ne??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1lnL(?)?(?xi)ln??n???ln(xi!)i?1i?1，令
dlnL?0,?i?1d??
?xin??x ?n?0??37
??x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??
习题六
1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,74.993,74.0067,74.002, 试求总体均值均值?及方差?2的矩估计，
??1?EX???x,?n解：由P 令?122222 ??EX?DX?(EX)?????x2i?ni?1??1??x?故?8?i?181xi?74.001375;??8?2?2?6?10?6 ?x12??i?182设总体X的概率分布为
kP{X?k}?C2(1??)k?2?k,K?0,1,2,?,n.X1,X2,?Xn是来
自总体X个样本，求参数?的矩估计量。
??X 解：E(X)?2p?X?P23
设
总
体
X令的概率密度为
??1?,0?x?1,X,X,?X是来自总体X个样本，f(x)???x12n0,其它,?x1,x2,?,xn是样本值，求参数?的矩估计量及矩估计值。
解：E(X)???01x?dx????1令?X;?1?1??1. X??X??(X)2为?的矩估计 ,?X?1X?1n2(x?x)??1;lnL1nnn?ln??(??1)?lnxi 2i?1L(?)?????lnLn1n??令??lnxi?0,?????2?2?i?1n2(?lnxi)2i?1n.为最大似
38
然估计
4X1,X2,?Xn是来自正态总体N(μ,1)的样本,求μ的最大似然估计。 解：L(?)??f(xi)??i?1nn12??11?(xi??)2 e2i?1n?1n(x??)2n?i?n1?(2?)2e2i?1,?lnL??ln(2?)?(xi??)222i?1
nn?令5
?lnL11???xi?x.?[?xi?n?)?0,????2i?1ni?1设
总
体
X的概率分布为
P{X?k}?p(1?p)k,0?P?1.k?1,2,3，?；X1,X2,?Xn是来
自总体X个样本，求参数p的极大似然估计.
n解：
L(P)??P{X?xi}??P(1?P)i?1nnxi?p(1?P)i?1;
n?xilnL?nlnP?(?xi)ln(1?P),i?1ni?1?lnLn1n1?P??x?0,??X,?i?PP1?Pi?1P令为最大似然估计 ??1.(参考答案1)PX?1X
补充：设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的和矩估计， 解：先求极大P{X?k}?似n然e??,估 计：?kk!ne??,k?0,1,?;L(?)??n?xixi!i?1lnL(?)?(?xi)ln??n???ln(xi!)i?1i?1，令
dlnL?0,?i?1d???xin??x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,?? 39
6
设总体X服从对数正态分布，即lnX～
N(?,?2),???????,??0,x1,x2,?,xn是样本值，求?,?2的极大似然估计。 解：略
??7设总体X的概率密度，f(x)??(1??)x,0?x?1,其中???1,未知参数为
?0,其它α.，设x1,x2,?xn为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计， 解：矩估计，令X?EX??01x(1??)x?dx?n??12x?1?? ,????22?x?极大似然估计L(?)??(??1)xii?1n?(??1)n(x1?xn)?，
lnL(?)?nln(??1)???lnxi，
i?1ndlnLnnn???lnxi?0,??1??,???1?nnd???1i?1?lnxi?lnxii?1i?1
8设X1,X2,?Xn是来自参数为?的指数分布的总体X,X的概率密度，
??C?x?(??1),x?Cf(x)??,其中C?0已知,??1未知,求：（1）?的矩
0,否则?估计，（2）?的极大似然估计。
解：矩
估?x???1计
??C?，令
X?EX?????cxCx??(??1)dx??C???1???1C.
???1C1C1X?C??X. ?,1??,?,???X?XXX?C极
大
似
然
估
计
：
nL(?)???C?xi?(??1)i?1n，
lnL(?)?nln??n?lnC?(??1)?lnxi，
i?1 40