每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：
?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??, Y??;
1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是
否相互独立？
（1）放回时，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?255,P{X?0,Y?1}?, 363651,P{X?1,Y?1}?, 36364510,P{X?0,Y?1}?, 6666（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?101,P{X?1,Y?1}?, 放回抽样时，两次抽样相互独6666立；不放回抽样，不相互独立．
6.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？
解 按题意(X,Y)具有联合概1?,a?x?b,c?y?d,? f(x,y)??(b?a)(c?d)?否则.?0,?1?1?,a?x?b?,c?y?dfX(x)??b?a, fY(y)??c?d,X及Y是独立
??x?by?d?0,x?a?0,y?c率密度
的.
事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：
且X与Y独a?x?b,c?y?d时，X与Y分别服从[a,b],[c,d]上的均匀分布，立，反之亦然.
7 随机
变
量
(X,Y)的分布函数为
1xyF(x,y)=2(B?arctan)(C?arctan).
23?求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？
解 由分布函数的性质有F(x,??)=0F(??,y)?0, F(??,??)=1
从而对任意的x,y；有
x?(B?arctan)(C?)?0222?1，
?y(B?)(C?arctan)?0, 223?1于是，有B??，C?2?2
16
f(x,y)?6?2(4?x2)(9?y2)fX(x)?2?(4?x2)，fY(y)?3?(9?y2) 独立。
8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)
22分布，规定点A落在区域D1?{(x,y)x?y?1}得2分，点A落在区域
D2?{(x,y)1?x2?y2?4}得
1分，点A落在区域
D3?{(x,y)x2?y2?1}得0分，以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合
概率密度，并求Z的分布律。 解：f(x,y)?x2?y2?2e12?,???x???,???y???,
P{z?2}?极坐标12?x2?y2?1??f(x,y)dxdyr2r21???11e2rdr??e20?1?e2.0
?2??0d??P{z?1}?1?x2?y2?4??f(x,y)dxdy???r2?2?e21?e?12?e?2.
P{z?0}?2x?y2?4??f(x,y)dxdy???r2????e22?e?2.
9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为
?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f(x,y)??（1）求常数A,(2)X,Y的边缘概率
其它,?0,密度。（3）P{0?X?1,0?Y?2}
解：（1）由
?????????(3x?4y)A????1?f(x,y)dxdy?Aedxdy?(e?3x0)(e?4y0)????0012????得
A?12
?12e?(3x?4y),x?0,y?0,（2）f(x,y)??
0,其它,??????12e?3xe?4ydy?3e?3x,x?0 fX(x)??0?x?0,?0, 17
?????12e?3xe?4ydx?4e?4y,y?0 fY(y)??0?y?0,?0,（3）P{0?X?1,0?Y?2}?1212?1?3x2edxe?4ydy 00??(e?3x0)(e?4y0)?(e?3?1)(e?8?1).
10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：
?cxy2,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??（1）求c,(2)问X与Y是否相互独立？
其它,?0,解：（画图）cxdxy2dy?1?c?0?01111?)dx?1,c?6 23当0?x?1时，fX(x)?6xy2dy?2x.
0故
?11??6?xy2dx?3y2,0?y?1,?2x,0?x?1,fX(x)??.fY(y)??0.
0,其它,??其它,?0,（2）独立。 11 平面区域D由曲线y?12及直线y=0,x=1,x?e所围成，二维随机变xe2量(X,Y)在D上服从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。 解：SD??1e2dx?1xdy01e2??dx?lnx1?2 1x?111?xdy?1,1?x?2,fX(x)???02?f(2)?. X2x4?0其它,?12略
13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：P{X?Y}?证：P{X?Y}?P{Y?X},
1. 2P{X?Y}?P{Y?X}?P{(X?Y)?(Y?X)}?P{?}?1故
1P{X?Y}?.
214.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事7件A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?,求常数a
9(a?1)(a?3)7a?13?aa?13?a?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)????1?922224 18
a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0449 57a?ora?3315（1）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?1}?P{Y?1}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}1P{X?Y?2}?,4?P{X?2,Y?1}?12,
1P{X?Y?4}?,
4（2）求2X的分布。
11注意：由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;
22
16 设(X,Y)的概率分布如下表： Y -2 X-Y X X+Y -1 -1 0 1 23 11 -3 1 -2 0 1212113513 ? ? 1222122220 123 -1 -1 12110 222 12求1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。 解：略。
17 设X和Y是相互独立的随机变量，X～B(n1,p); Y～B(n2,p);证明Z=X+Y X～B(n1?n2,p); 证明：P{Z?k}?
i?Cn1i?0i?0?P{X?i}P{Y?k?i}
kk?kpqin1?ik?ik?in2?(k?i)Cnpq2ik?ikn1?n2?k?(?CnCn)pq12i?0k
kkn1?n2?k?Cnpq1?n2ik?ik(其中用到组合公式?CmCn?Cm?n)i?018略
19 设随机变量X1～N(1,2);X2～N(0,3),X3～N(2,1),且X1,X2,X3
19
相互独立，求
P{0?2X1?3X2?X3?6},(已知?(1)?0.8413).
解：由62页2X1?3X2?X3～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36), 故由34页有
P{0?2X1?3X2?X3?6}??(??(1)??(0)?0.34136?00?0)??(),(已知?(1)?0.8413).66
20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为
?te?t,t?0，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率f(t)???0,t?0密度.
Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)??????f(x1,z?x1)dx1????fX(x1)fX1??2(z?x1)dx1
要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,???x1?0, z?x1?而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z, 故fZ(z)??0zx1(z?x1)e?z32x1zx1?zzz2?zdx1?(?)e?e,(z?0) 0236?z3e?z?故fZ(z)??3!,z?0
?z?0?0,21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：
?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0,（1）X与Y是否相互独立，（2）f(x,y)??2?其它,?0,求Z=X+Y的概率密度。 解：（1）fX(x)?e?x??1(x?02??1y)e?ydy??e?x?(x?y)de?y
02???1??1??e?x(x?y)e?y0?e?x?e?yd(x?y)(注x:常量)022111???xe?x?e?x(?e?y0)?e?x(x?1), 2221fY(y)?e?y(y?1),f(x,y)?fX(x)fY(x),不独立.2（2）
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