（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
考点： 切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解
直角三角形。
专题： 几何综合题。 分析： （1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠
BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．
（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠
DBC=
=
=
，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．
（3）先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．
解答： 解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°， ∴∠BCP+∠BCA=90°， ∴直线CP是⊙O的切线．
（2）如右图，作BD⊥AC于点D， ∵PC⊥AC ∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2
，sin∠BCP=
， =
=
，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4， ∴点B到AC的距离为4．
（3）如右图，连接AN， 在Rt△ACN中，AC=
=5，
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又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3． ∵BD∥CP，∴在Rt△ACP中，AP=AC+CP+AP=5+
+
=20， ，∴CP=
=． ，
∴△ACP的周长为20．
点评： 本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得
2
到△OA2B1，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2． （1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
？若存在，
考点： 二次函数综合题。
分析： （1）首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得
抛物线的解析式；
（2）求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，
- 17 -
如图1所示；
（3）本问引用了（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标．
解答：
解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4，
∴B（﹣4，0），B1（0，﹣4），A2（3，0）．
2
∵抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2， ∴
，
解得
∴抛物线的解析式为：y=x+x﹣4．
（2）点P是第三象限内抛物线y=x+x﹣4上的一点， 如答图1，过点P作PC⊥x轴于点C．
设点P的坐标为（m，n），则m＜0，n＜0，n=m+m﹣4．
于是PC=|n|=﹣n=﹣m﹣m﹣4，OC=|m|=﹣m，BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m． S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC﹣S△OBB1
=×BC×PC+×（PC+OB1）×OC﹣×OB×OB1
=×（4+m）×（﹣m﹣m﹣4）+×[（﹣m﹣m﹣4）+4]×（﹣m）﹣×4×4 =
m﹣m=
2
2
2
2
2
2
2
（m+2）+
，即点P（﹣2，
）．
2
当m=﹣2时，△PBB1的面积最大，这时，n=
（3）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为如答图2，过点Q作QD⊥BB1于点D． 由（2）可知，此时△QBB1的面积可以表示为：在Rt△OBB1中，BB1=
=
（x0+2）+，
2
．
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∵S△QBB1=×BB1×QD=×∴
（x0+2）+=2，
2
×=2，
解得x0=﹣1或x0=﹣3
当x0=﹣1时，y0=﹣4；当x0=﹣3时，y0=﹣2，
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）．
，这样的
点评： 本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元
二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第（2）问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．
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