4π2r2r1 2GT答案 ?D
解析 双星的运动周期是一样的,选S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得?
Gm1m24π2r2r14π2?m1r12,则m2=.故正确选项D正确.
GT2r2T二、非选择题
14.(06天津理综25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云 时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成. 两星 视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运 动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星 A的速率v和运行周期T.?
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视 为质点）对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);? （2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；? （3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10m/s,运行周期T=4.7π×10s,质量m1=6 ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G=6.67×10
-11
5
4
N·m/kg,ms=2.0×10kg)?
3m2v3T(2) ?(m1?m2)22πG2230
3m2答案 (1)
(m1?m2)2(3)暗星B有可能是黑
洞
解析 （1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为ω.由牛顿运动定律,有 FA=m1ωr1 FB=m2ωr2 FA=FB
设A、B之间的距离为r,又r =r1+r2,由上述各式得?
61
22
r =
m1?m2mr1 2由万有引力定律,有 FA=Gm1m2r2 将①代入得Fm3A=G1m2(mm22 1?2)r1令FmA=G1m'r2 13比较可得m′=m2(m2
1?m2)（2）由牛顿第二定律,有Gm1m'v2r2?m1
1r1又可见星A的轨道半径rvT1=
2π m33由②③④式解得2vT(m2? 1?m2)2πG （3）将m1=6 ms代入⑤式,得
m32v3T(6m)2?2πG? s?m2代入数据得
m32(6m2?3.5ms s?m2)设m2=nms(n > 0),将其代入⑥式,得
m32n(6m?m?ms?3.5ms
s2)2(6?1)2n3可见,m2(6m)2的值随n的增大而增大,试令n=2,
s?m2得
nms?0.125ms?3.5ms
(6n?1)2①?
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
61
若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m2必大于2ms,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.?
15.(04广东16)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星.试问,春分那天(太阳光直射赤道)在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射.?
T4π2R3答案 arcsin() 2πgT解析 根据题意画出卫星接不到太阳光的几何图景,然后由牛顿第二定律及万有引力提供向心力求出卫星的轨道半径,再由几何知识求出对应的角度,最后由周期公式求出时间即可.?
设所求时间为t,m、M分别为卫星、地球质量,r为卫星到地心的距离,有?
1GmM2π2?mr() r2T春分时,太阳光直射地球赤道,如图所示,图中圆E为赤道,S表示卫星,A表示观察者,O表示地心.由图可看出,当卫星S转到S′位置间,卫星恰好处于地球的阴影区,卫星无法反射太阳光,观察者将看不见卫星.由图有rsinθ=R t =
2?T 2πMm'?m'g R21对地面上质量为m′的物体有G
T4π2R3由以上各式可知t =arcsin() 2πgT16.(04北京春季24)“神舟五号”载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨,由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342 km的圆形轨道.已知地球半径R=6.37×10km,地面处的重力加速度g =10 m/s.试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）.
2
3
(R?h)33
答案 T=2π 5.4×10s 2Rg解析 设地球质量为M,飞船质量为m,速度为v,圆轨道的半径为r,由万有引力定律和牛
Mmv2顿第二定律,有G2?m
rr ①
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T?2πr v
② ③ ④ ⑤
地面附近G?Mm?mg 2R
由已知条件r=R+h
(R?h)3解以上各式得T =2π
R2g代入数值,T=5.4×10s
3
17.(04全国卷Ⅰ23)在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为h,速度方向是水平的,速度大小为v0,求它第二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r,周期为T,火星可视为半径为r0的均匀球体.? 答案
8π2hr3T2r02?v0
2解析 以g′表示火星表面附近的重力加速度,M表示火星的质量,m表示火星的卫星质量,m′表示火星表面
处某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿第二定律,有
GGMm' ?m'g' 2r0 ①
Mm2π2?m()r 2rT ②
探测器从最高点h到第二次落地,可看作平抛运动.
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度,它的竖直分量为v1,水平分量仍为v0,有?
v12 =2g′h
v=v1?v0
22
③ ④
8π2hr32?v由以上各式解得v= 022Tr0第二部分：三年联考题汇编
2009万有引力、天体运动
61
一、 选择题
1.(2009届广东茂名市模拟)太空被称为是21世纪技术革命的摇篮。摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会。“神州号” 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船——太空实验室——空间站的三部曲构想。某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（1.A） A. 只能从较低轨道上加速 B. 只能从较高轨道上加速
C. 只能从空间站同一高度的轨道上加速 D. 无论在什么轨道上，只要加速都行
2.(2009江苏常州中学高三月考) 2007 年3 月26 日，中俄共同签署了《中国国家航天局和俄罗斯联邦航天局关于联合探测火星——火卫一合作的协议》，双方确定2008年联合对火星及其卫星“火卫一”进行探测．“火卫一”在火星赤道正上方运行，与火星中心的距离为9450km．绕火星1周需7h39min，若其绕行轨道简化为圆轨道，引力常量G已知．则由以上信息能求出（ D ）
A．“火卫一”的质量 B．火星的质量 C．“火卫一”受到火星的引力 D．火星的密度
3.（2009届上海南汇期区末）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 （ A ） 4?rr1
A． 2
22
GT4?r1
B．2
23
GT
4?r4?r（r－r1）
C．2 D． 22322
GTGT
4. (2008学年广东越秀区高三摸底调研测试12)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球作匀速圆
周运动，如图所示，已知MA=MB 61