222c?a?b?2abcosC b?a?c?2accosB222思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： b?c?a cosA?2bca?c?b cosB?2acb?a?c cosC?2ba222222222[理解定理] 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?ABC中，C=900，则cosC?0，这时c2?a2?b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例1．在?ABC中，已知a?23，c?6?2，B?600，求b及A 例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形 （见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解） Ⅲ.课堂练习 第8页练习第1（1）、2（1）题。 [补充练习]在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） Ⅳ.课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 Ⅴ.课后作业 ② 课后阅读：课本第9页[探究与发现] ②课时作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。 教学反思
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课题 课型 新授课 知识与技能 §1.1.2课时 余弦定理（二） 备课时间 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合教学目 标 过程与方法 运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 情感态度与价值观 重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 教学方法 教学过程 [复习引入] 余弦定理及基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边②已知三角形的三条边就可以求出其它角。2222 222222222a?b?c?2bccosA b?a?c?2accosB c?a?b?2abcosC b?c?aa?c?bb?a?c cosB? cosC?cosA?2bc2ac2ba22222 [练习] 1.教材P8面第2题 2．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200） 思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？ （1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 a?12,b?5,A?120?（先由正弦定理求B，由三角形内角和求C，再由正、余弦定理求C边） （2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 A?70?,B?50?,a?10（先由三角形内角和求角C，正弦定理求a、b） （3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 a?12,b?13,C?50? （先由余弦定理求C边，再由正、余弦定理求角A、B） （4）已知三角形的三条边。 例如 a?10,b?12,c?9（先由余弦定理求最大边所对的角） [探索研究] 7
例1．在?ABC中，已知下列条件解三角形 （1）A?30?，a?10，b?20（一解） （2）A?30?，a?10，b?6（一解） （3）A?30?，a?10，b?15（二解） （4）A?120?，a?10，b?5（一解） （5）A?120?，a?10，b?15（无解） 分析：先由sinB?bsinAasinC可进一步求出B；则C?1800?(A?B) 从而c? aA归纳:（1）如果已知的A是直角或钝角，a＞b，只有一解； （2）如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，只有一解； （3）如果已知的A是锐角，a＜b， 1、a?bsinA，有二解； 2、a?bsinA，只有一解； 3、a?bsinA，无解。 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习1] （1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若a?1，c?12，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 （3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （ 答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?22） 例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。 a?b?c?A是直角??ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知 a?b?c?A是钝角??ABC是钝角三角形 222a?b?c?A是锐角??ABC是锐角三角形222解：?72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?ABC是钝角三角形。 [随堂练习2] （1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。 （2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。 （答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形） 例3．在?ABC中，A?600，b?1，面积为分析：可利用三角形面积定理S?1232，求12a?b?c的值 sinA?sinB?sinC12absinC?acsinB?bcsinA以及正弦定理 8
asinA1?bsinB?csinC32?a?b?c sinA?sinB?sinC解：由S?bcsinA?2得c?2， 则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a?3， 从而a?b?ca??2 sinA?sinB?sinCsinA[随堂练习3] （1）在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?2203，求角C （2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?（答案：（1）600或1200；（2）450） [课堂小结] （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 五、作业（课时作业） （1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。 （3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。 （4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根， 求这个三角形的面积。 教学反思
a?b?c4222，求角C 9
课题 课型 新授课 知识与技能 §1．1．3解三角形的进一步讨论 备课时间 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合课时 教学目 标 过程与方法 运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 情感态度与价值观 重点 难点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 观察、思考、交流、讨论、概括。 教学方法 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景] 思考：在?ABC中，已知a?22cm，b?25cm，A?1330，解三角形。 （由学生阅读课本第9页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 例1．在?ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 1．当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时， 如果a≥b，那么只有一解； 如果a?b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a?bsinA，则有两解； （2）若a?bsinA，则只有一解； （3）若a?bsinA，则无解。 （以上解答过程详见课本第9?10页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习1] （1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若a?1，c?12，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 10