?103=30sin(180? 。 ?4?)sin2? 因为 sin4?=2sin2?cos2? cos2?=? 32,得 2?=30? ?=15?， ? ??在Rt?ADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角?为15?，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)2 两式相减，得x=53,h=15 h103?x???2?=30,?=15 ?在 Rt?ACE中,tan2?==33 答：所求角?为15?，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得 ?BAC=?， ?CAD=2?， AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=x30 --------- ① 4在Rt?ADE中，sin4?=10, --------- ② 332 ②?① 得 cos2?=,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 答：所求角?为15?，建筑物高度为15m 例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45?相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 21
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型 分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, ?ACB=75?+45?=120? 222?(14x) = 9+ (10x) -2?9?10xcos120? 2?化简得32x-30x-27=0，即x=32,或x=-916(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为sin?BAC =?BCsin120AB?=1521??32=5314 ， ??BAC =3813?,或?BAC =14147?（钝角不合题意，舍去）?3813?+45?=8313? ??答：巡逻艇应该沿北偏东83?13?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船. 评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅲ.课堂练习 课本第16页练习 Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业 1、课本第19-20页练习第4、5、9、10题 2、我舰在敌岛A南偏西50?相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示） 教学反思
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课题 课型 新授课 知识与技能 §1.2.4解三角形应用举例 备课时间 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的过程与方法 生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。 情感态度与价值观 让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 课时 教学目 标 重点 难点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 教学方法 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ?ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S=1212 ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 可以推导出下面的三角形面积公式，S=生：同理可得，S=12bcsinA, S=12acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 23
例1、在?ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?; （2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S= S=1212acsinB，得 ?2?14.8?23.5?sin148.5≈90.9(cm) (2)根据正弦定理， bsinB = csinC c = bsinC sinBS = 12bcsinA = 12b2sinCsinAsinB A = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5? 12 S = ?3.162?sin65.8sin51.5sin62.7???≈4.0(cm2) (3)根据余弦定理的推论，得 cosB = =c2?a22?b22ca38.7?41.42 ?27.322?38.7?41.4 ≈0.7697 2sinB = 1?cosB≈1?0.76972≈0.6384 应用S=S ≈1212acsinB，得 ?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2) 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
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生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， cosB=c2?a2?b22ca2 =1272?682?8822?127?68≈0.7532 sinB=1?0.7532应用S=12?0.6578 acsinB 122?68?127?0.6578≈2840.38(m) S ≈答：这个区域的面积是2840.38m2。 例3、在?ABC中，求证： （1）a2?bc22?sin2A?sinsin22B; C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 asinAbsinBcsinC = = = k 显然 k?0，所以 左边=a2?bc22?ksin22A?ksin2222B ksin2C =sin2A?sinsin2B=右边 C（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc =(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2) =a2+b2+c2=左边 变式练习1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 b2?c2?a22bc+cac2?a2?b22ca+aba2?b2?c22ab) 25