结构动力学习题
参考答案
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2.3一根刚梁AB，用力在弹簧BC上去激励它，其C点的运动规定为Z（t）,如图P2.3. 按B点的垂直运动u来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。 解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。根据
达朗贝尔原理，通过对A点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力fs1，
以及阻尼力fD，惯性力M2。B点的垂直位移是u，则有几何关系知L/2fs2，
处的位移为u/2。 根据位移图和受力图可得：
MI?fs1?LL?fD??fs2?L?022 其中
..12u1MI?mL?mLu3L3u1f?R??k2u2 s1 22fs2?k2(z?u)..1.fD?cu21式得： 代入○
...111MLu?cLu?k1Lu?k2(z?u)L?0 344 合并化简得：
4Mu?3cu?(3k1?12k2)u?12k2Z(t)
...2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：mu?cu?ku?Pu(t)。其中u为
E点的垂直运动。假定薄刚杆AE的质量为M,其转动很小。
...1
解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B点取矩得
L5uLuL?1L?u?L?c??k????mL2?m()2?? 483434?124?3L4...
p0f(t)?化简合并得：
45POf(t)L845令7M?m,3c?C,3k?K.,POf(t)L?Pu(t)得
87Mu?3cu?3ku?...mu?cu?ku?Pu(t)...2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度?，并具有顶部质量M，应
用假定法??x)?xL来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定AE?常数。 解：
u(x,t)??(x)u(t)?xu(t) L 由虚功原理，有：
?W非保守??V??W惯?0 ①
其中非保守力为端部集中力P(t)，惯性力包括顶部质量M和均匀杆的所受的惯性力，计算如下：
2
?W非保守?P（t)?u(L,t)?P(t)?u?V??EAu'?u'dx??EA?OOL....LLu1EAu??udx??uLLLL......x..x1?W惯???A?u?udx?Mu(L,t)?u(L,t)???A?u??udx?Mu?u??A?Lu?u?Mu?uOOLL3 把上式代入①式，化简合并得：
..EA?1?（?AL?M)u?u?P(t)?3??u?0 L?? 因为?u可取任意值，所以得运动方程：
..1EA(?AL?M)u?u?P(t) 3L2.14 应用?(x)?sin(?x/2L)重做习题2.13
解：u(x,t)??(x)u(t)?sin由习题2.13可得
?x2Lu(t)
?W非保守?P(t)??u(L,t)?p(t)?u?V??EAu'?u'dx??EA(OOEAu?u8L..........LL?x..?x1?W慢???A?u?udx?Mu?u(L,t)???A?sinuxsin?udx?Mu??(A?u?Mu)?uOo2L2L22Lx?cos2LLL??x)u?udx?2?2 合并化简得：
..LA???EA(?M)u?u?P(t) 28L2.17一均匀悬臂梁作用有一水平力N和一与时俱变的横向分布荷载p(x,t)，如
图P2.17.?(x,t)采用一简单多项式来推导悬臂梁横向振动的运动方程。
3
解：设u(x,t)??(x)u?t?，由虚功原理得
?W非保守??V??W惯性力?0 ①
其中非保守力包括三角形均布力，轴向压力N，以及阻尼力；惯性力为均匀梁所受的惯性力，计算如下：
?W非保守
.LP0??xf(t)?u(x,t)dx??Nu'?u'dx?c0u(L/2,t)?u(L/2,t)0L0 ..LP0LL??xf(t)?(x)?udx??N[?(x)']2u?udx?c0?2()u?u0L02L ?V??EIu\?u\dx??EI[?\(x)]2u?udx
00LL ?W惯性力??mu?u(x,t)dx??m?2(x)?udx
00L?..L?x2x2为了简化计算，假设多项式?(x)?2, 则u(x,t)?2u(t)，代入以上各式
LL得
.p0L41?W非保守?f(t)?u?Nu?u?c0u?u43L164EI?V?3u?u
L?W惯性力mL..?u?u5?代入①式，合并化简得
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