令f'?0得
?2243.55sin31t?14750.08cos31t?0
31t?arctan14750.08?1.422243.55
把31t?1.42代入f得表达式计算得
fmax?e?1.55?(1.42/31)?(483.45sin1.42?48.3cos1.42)?451.739(1b)
考虑到数据误差，方法①与方法②所得的结果一致。 6.5 例题4.3中的车辆，已知k?400?103,m?1200kg,??0.4。当满载时以
凸起长度为2m，如图P6.5100km/h速度通过一半正弦曲线形的凸起路面，
所示。
td和t?td时的力。 2（1）计算质量在t?0,t?（2）确定被弹簧支承的质量m所受的最大力，并与（1）比较。 解：分析：质量m所受的最大力与其绝对加速度成正比，要求得绝对加速
度的最大值就可以先求出质量m相对运动的运动方程w的表达
式，然后再求w?z的极值即可。其中w的表达式可以用SDOF系统在简谐激励下的公式计算，也可以用杜哈梅积分计算。
汽车自振频率wn和wd和周期Tn的计算如下：
k?m400?103?18.3(rad/s),1200....wn?wd?1??2wn?1?0.42?18.3?16.8(rad/s)Tn?2??0.343(s)wn路面凸起作用的激励力频率?和作用时间作用td计算如下100000?6.28?43.6(rad/s)4?36002td??0.072(s)100/3.6??15
方法① 通过求解运动为运动微分方程求解w的表达式 车辆的振动方程为
①当0?t?td时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，运动方程如下：
mw?cw?kw?mz?2sin??t??228115.2sin43.6t
...初始条件
w(0)?w(0)?0
.②当t?td时，车辆为有阻尼的自由振动，运动方程如下：
...mw?cw?kw?0
初始条件
w?w(td)w?w(td)
求解运动方程，得w的表达式： 解①得
w?Usin(43.6t??)?e??wnt(Acoswdt?Bsinwdt)
..其中
U?U0Ds?p0?k1?1???22?(2??)2p0mz?2?2又??z?2?z?r2kkw?k?m?2?0??2?1?????arctan??2?????2?2.7546??
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代入初始条件计算得 A=0.0424 , B=0.2886 所以
w?0.1124sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(0.0424cos16.8t?0.2886sin16.8t)w?4.9006sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(4.5398cos16.8t?2.8256sin16.8t)w??213.6679sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(?80.7014cos16.8t?55.5851sin16.8t)则绝对加速度的表达式为：u?w?z??213.6679sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(?80.7014cos16.8t?55.5851sin16.8t)?190.1sin(43.6t).........把t?td?0.072(s)代入上式求得
.w(td)?0.2104w(td)?3.9293，代入自由振动解公式得
在自由振动阶段的振动方程（z?0）：
u?w??e?7..32(t?0.072)(0.2014cos16.8(t?0.072)?0.3256sin16.8(t?0.072))对w求两次导得(本题的求导过程都是通过matlab求解的)
u?e?7..32(t?0.072)(128.19cos16.8(t?0.072)?22.70sin16.8(t?0.072))
...... 由于w的表达式很复杂，要求得两个时间段下u的最大值，可以通过
Matlab作出两个时间段下u的图形，进而得到u的最大值。通过作图知当t?0.0685(s)时，u取到负的最大，最大值umax?129.1(m/s2)；
u??67.4(m/s2)； t?0.072(s)时， u=?128.2(m/s)；t?0.036(s)时，2............u??6.2(m/s2)。 t?0时， 用matlab绘制加速度随时间变化的曲线如下：
..
17
所以，
被弹簧支承的质量m受到的最大力Fmax为
.. Fmax?mwmax?1200?129.1?154.92KN 方法② 通过杜哈梅积分求解w的表达式
① 当0?t?td时，车辆为正弦型荷载作用下的强迫振动，w的表达
式由杜哈梅积分（强迫振动部分）和自由振动两部分表达式组成
?1w???mwd?.
?t??wn(t??)??wnt?P(?)esinw(t??)d??wecoswdt?d0??0?.
?w0??wnw0??wntesinwdtwd 其中P(?)?mz?2sin??t??228115.2sin43.6t
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w(0)?w(0)?0
. 对上式积分可得（用matlab计算）
w?11.3152*?sin(43.6?)*e?7.32(t??)*sin16.8(t??)d?0tw??0.1124sin(43.6t?0.3859)?e?7..32t(0.0427cos16.8t?0.2888sin16.8t)?0.1124sin(43.6t?2.7546)?e?7..32t(0.0427cos16.8t?0.2888sin16.8t)与解微分方程的结果比较可知，忽略数据误差，二者的结果可以认为一致，与理论相符。
② 当t?td时，车辆为有阻尼的自由振动，此时w表达式得求法与
方法①相同。
当用杜哈梅积分求得w的表达式以后，其余的计算步骤同方法①，
二者所得结果相同
9.5 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一根均匀柔性梁AB上，设侧向位移
很小，用哈密顿原理推导柔性梁AB的运动方程和边界条件。
t2t2
解： 哈密顿原理可以表示为???T?V?dt???Wncdt?0
t1t1 对于薄壁长梁的横向振动可以忽略梁的剪切变形和转动惯量， 则对整
体有
12L?.?1?.?1?.? 动能 T???A?u?dx?m?uB??I??B?
202??2????212L' 势能 V??EI?dx
20222??19