11.26 一根悬臂梁是用2-DOF假定振型模型来模拟的，如图P11.26所示，
它的广义坐标是以自由度端的挠曲与斜率（很小）表示，即V(t)与
?(t)。图示符合形函数的振型。
（a）根据一般多项式来推导?1与?2多项式形式的形函数
?x??x??x? ?(x)?a?b???c???d??
?L??L??L?23 （b）推导这个2-DOF模型的运动方程 解：（a）对?1(x)有边界条件如下
?1(0)?0，?1(L)?1，?1'(0)?0， ?1'(L)?0 代入?(x)求解得
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a?0，b?0，c?3，d??2
?x??x? 所以?1(x)=3???2??
?L??L?23 对?2(x)有边界条件如下
'' ?2(0)?0，?2(L)?0，?2(L)?0 (L)?1， ?2 代入?(x)求解得
a?0，b?0，c?3，d??2
?x??x? 所以?2(x)=??????
?L??L?3??x?2??x?2?x?3??x?? 综上u(x,t)?v(t)?3???2?????(t)????????
?L????L????L??L?????236x6x2612x (b) ??2?3 , ?1\?2?3
LLLL'1?2x3x226x ??2?3，?1\??2?3
LLLL'2 求刚度矩阵kij??EI?i\?\jdx
0L12EI?612x?k11??EI?2?3?dx?30L?L?LL6EI?612x??26x? k12?k21??EI?2?3???2?3?dx?2
0L??LL?L?LL2k22??L04EI?26x?EI??2?3?dx?LL??LL2 求质量矩阵mij???A?i?jdx
026
3??x?2L13?x??m11???A?3???2???dx??AL0LL35????????2m12?m21??m22??LL0323??x?21?x????x??x???A?3???2???????????dx??AL
70?L?????L?????L??L???20??x?2?x?3?1?A????????dx??ALLL105???????? 所以运动方程如下：
?13?35 ?AL?1??701?..?12??70??v??EI?L2..?61???L?????105??L6?L??v???0? ?????4?????0??12.1 有一两层建筑结构的刚度与刚度矩阵如下：
?1?1??10?(k/in)m?2(k?sec2/in) k?600?，?????13??01?（a） 求该结构的两个固有周期
（b） 求相应的两个振型，按比例画出两个模态图，其最大位移为1.0。
解：（a）振动方程如下
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..?10??u1??1?1??u1??0??? 2??600??? ..???????01????11??u2??0??u2? 设简谐解为
?u1??u1? ?????cos(wt??)，代入振动方程得代数特征值问题：
?u2??u2???300 ?????300?300?0???u1??0?2?1?wi????u???0? 300?01?????2??? 得特征方程如下：
?300?wi2??900?wi2??300?300?0 解得wi2?1024.264，or wi2?175.736 所以
w1?32(rad/s)w2?13.257(rad/s)
T1? 2?2??0.196(s)T2??0.474(s)w1w2（b）把wi代入方程得
U1300?,代入wi计算得 U2300?wi2 ?i? ?1??0.414?2?2.414 12.8 有一2-DOF均匀悬臂梁的横向振动，根据
?x??x? ?1(x)???,?2(x)???
?L??L?23（a） 推导出该2-DOF模型的运动方程
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（b） 计算固有频率。比较该频率与例题10.3的精确频率，并比较该频率
与例题10.4的频率值。 解：（a）推导振动方程 ?1'?2x2\ , ??122LL3x26x ??3，?1\?3
LL'2 求刚度矩阵kij??EI?i\?\jdx
0L4EI?2?k11??EI?2?dx?30L?L?L6EI?2??6x? k12?k21??EI?2??3?dx?3
0L?L??L?L2k22??L04EI?6x?EI?3?dx?3L?L?L2 求质量矩阵mij???A?i?jdx
0Lm11??01?x??A??dx??AL5?L?L04 m12?m21??m22??L1?x??x??A????dx??AL
6?L??L?62301?x??A??dx??AL7?L? 所以运动方程如下：
?1?5 ?AL?1??61?..??6??u1??EI?46??u1???0?
??u??0?1??..?L?612???2???u??2?7?（b）求固有频率 设简谐解为
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