(4)求解微分方程，即可得预测模型：
???ak??0???1??k?1??? x??x1?e? ，k?0,1,2...,n (5-2-7) ??a?a???1??k?1?中的k取本期的年份，即可得到累加预测数据； (5)将x(6)由累减生成模拟原始数据序列x(0)的序列:
?(0)?(1)?(1)x(t?1)?x(t?1)?x(t)x(0)?{x?(0)(t)|t?1,???,n} 即可得到某年的预测的相应数据。
综上所述，就完成了人口预测模型的建立过程。 5.2.2 模型二精度的检验 （1）残差检验：分别计算 残差：
E(k)?x(0)(k)?x? (0)(k),k?2,3,???,N 相对残差：
e(k)????x(0)(k)?x? (0)(k)???x(0)(k),k?2,3???,N （2）后验差检验：分别计算 x(0)(k)的均值：
X?1N?Nx(0)(k) k?1x(0)(k)的方差：
S1N?N?x(0)(k)?X?21?? k?1?残差的均值：
E?1N?1?NE(k) k?2残差的方差：
S2?1NN?1??E(k)?E?2 k?2??后验差比值：
Z?S2S 1
(5-2-8)
(5-2-9) (5-2-10)
(5-2-11)
(5-2-12) (5-2-13)
(5-2-14) (5-2-15) 小误差概率：
P?PE(k)?E?0.6745S1 (5-2-16)
（3）预测精度对照表：
表1预测精度对照表 ??预测精度等级 好 合格 勉强 不合格 P >0.95 >0.80 >0.70 <0.70 R <0.35 <0.45 <0.50 >0.65
5.3 模型三的建立
实行放宽一胎化生育政策时，在模型二的基础上进行改进，对模型二中的各年人口总数进行修正：
Ci'?Ci??Cn (5-3-1)
其中：
?n???Ci?i?1?Cn??n??C??Cq(1?1.49%)?in?20i??i?1n?20 (5-3-2)
n?20
?Ci?Ci?qi?(1?63.4%)?(1?1.49%) (5-3-3)
其中：Ci'政策变化后指第i年人口总数，Ci指政策变化前第i年人口总数，
?Cn指政策调整引起的人口总数的变化。qi指第i年的生育率。根据查找资料得到63.4%的育龄妇女想要二胎，新生婴儿的死亡率为1.49%。
然后根据修正得到的数据，运用问题二中的灰色模型，对未来30年的人口数量进行预测。
根据预测的未来30年的人口总数，通过逐年递推计算，求出各年的年龄构成。
建立以上数学模型，预测未来30年内中国人口结构。 5.4 模型四的建立
根据题目要求，我们在问题一中模型的基础上，对制约经济增长的六个因素分别分析：
（1）对于“资金投入”，延迟退休年龄不会明显影响国家和企业对资金的投资的方向。结合相关资料，经过认真分析，它对“资金投入”的影响可以忽略。
（2）对于“能源消耗”，我国已经进入到工业化快速发展的社会，能源消耗大大受工业生产的制约，受人民生活的影响越来越弱，与工业生产相比甚至可以忽略。而延迟退休年龄只会间接地对生活上能源消耗有微小影响甚至没有影响。因此，本问题中，忽略对“能源消耗”的影响。（3）对于“劳动投入”，延长退休年龄会直接增加劳动力数量的投入，尤其是一些年龄在61～65岁，身体健康且工作能力较强的人，他们的退休延迟，会对经济发展产生相当大的促进。
由于延迟退休年龄而导致的失业率增加，因改变很小在本问中不予考虑。在求解
'中，假设“劳动投入”A4,简单地等效为劳动力数量C'的投入。根据查找的资料，
'运用问题一中的模型：A4?C'?p,其中p为就业率。
（4）对于“人口增长”，延长退休年龄可能会导致劳动强度相对退休增大，从而，对于一些老人尤其是身体不够健壮的老人，间接地缩短他们的寿命。进而，减缓了人口的增长。但是，随着生活水平和医疗条件的不断提高，老人们的身体状况会得到不断地改善。在本问中，为了使模型理想化，不考虑延长退休年龄对“人口增长”的影响。
（5）对于“技术成交额”，它受到各行业，各地区的科技发展和研究情况直接影响。而与退休年龄的长短关系不大。所以不考虑它对“资金投入”的影响。
（6）对于“居民消费”，因为工资普遍大于退休养老金，延长退休年龄会导致人们经济条件相对地提高，进而会一定程度地影响居民消费。而人们的消费水平还大大地受到个人的消费观念的影响。由于其因人而异的不可预测性，所以不考虑它对“资金投入”的影响。
综上所述：延长退休年龄会对“劳动投入”产生较大的影响，由于对其他因素影响比较微弱和不可预测性。在本问中，仅仅考虑对劳动投入的影响。其中，劳动投入：
'A4?C'?p (5-4)
最后，再用问题一中模型进行求解。
六、模型求解
6.1 模型一的求解
6.1.1 影响经济发展主要因素的分析
根据所收集到的资料，我们分别用六个因素在2001-2010十年的数据，代入模型进行求解。
（1）先根据影响国家经济发展的六个因素的相关数据，分别计算这六个因素的平均数和标准差(其中i指各个因素的编号，j指各个因素样本编号，n指样本数量n?10)； （2）根据均值和标准差计算，影响国家经济发展的第i项因素的变异系数为：
Vi??ixi(i?1,2,???,6) （3）计算构成影响因素体系的6个指标的权重：
Wi?Vin(i?1,2,???,6)
i?Vi?1计算的结果见表所示：
表2 影响经济发展各因素不同参数的值 因素 参数 能源消耗A1 人口增长资金投入劳动投入技术成交额A5 居民消费A2 A3 A4 A6 平均值xi 方差?i 变异系数Vi 权重Wi 240530 130997 121840 77490 1929 81644 62082.95 2169.762 81230.63 1753.054 1022.089 32472.28 0.258109 0.016563 0.666697 0.022623 0.529771 0.397727 0.136458 0.008757 0.352472 0.01196 0.280081 0.210272 （4）根据模型： Q??Wixii?16
我们求出2001-2010十年的经济发展情况的值，如下表：
表3 2001～2010十年中经济发展数值Q 年份 2001 2002 2003 2004 2005 经济发展数值Q 44675.56 49026 57696.53 69822.16 80979.71 年份 2006 2007 2008 2009 2010 经济发展数值Q 93929.76 109505.7 126799.7 149453.7 173603.9
6.1.2模型验证
模型求解的结果和资料中历年GDP的值，进行对比分析。使用excel软件对数 据处理，作出下图：
图1 2001～2010十年间经济发展的值与GDP的变化曲线
同理，再把各个地区的相关数据代入模型并求解结果，和当地GDP进行对比，作出下图：
图2 各个地区经济发展的值和GDP值的曲线
以上两图从两个不同的角度模型与经济的发展（GDP）具有较高的相似程度。基本反映了经济发展状况。验证模型的正确性，可以反映出经济的发展状况。 6.1.3人口结构对经济发展的作用分析
人口结构对经济发展的作用由男女比例，年龄构成和受教育程度三个因素决定。在以下的分析中，我们忽略特殊个例，根据经济学的相关理论和知识，得到：
“祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，男性为65355万人，占总人口的51.63%；女性为61228万人，占总人口的48.37%。性别比(以女性为100，男性对女性的比例)为106.74。”因为男性在不同工作中较女性普遍适应性较强，且男性在身体上普遍能适应较艰苦和特殊要求的工作（比如：军人，强度大的体力劳动等）。我们认为男性个体对经济发展的促进作用较女性更强。因此，男性比例的增大对经济是促进作用。
“祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，0-14岁的人口为28979万人，占总人口的22.89%；15-64岁的人口为88793万人，占总人口的70.15%；65岁及以上的人口为8811万人，占总人口的6.96%。”因为15-64岁的人劳动能力较强，我们认为这个阶段的人对经济的增长起到积极的作用；相反，0-14岁和15-64岁阶段的人对经济增长起着阻碍的作用。
“祖国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，接受大学(指大专以上)教育的4571万人；接受高中(含中专)教育的14109万人；接受初中教育的42989万人；接受小学教育的45191万人(以上各种受教育程度的人包括各类学校的毕业生、肄业生和在校生)。”因为在当代工业化的社会，科学技术是决定生产力的主导因素。我们普遍认为受教育程度越高，对经济发展的影响越大。
综合以上关于人口结构的三个因素可知：人口结构对经济发展的影响可以从三个方面分别讨论和分析。其中，受教育程度、年龄构成和男女比例对经济发展的影响依次减小。在评价时，可以按照上述模型，对三者进行赋予不同权重，再进行定量的分析说明。 6.2 模型二的求解 6.2.1 模型的求解过程
(1)将时间序列中人口总数的原始数据序列X?0?的n个观察值: