...
由②可得：（x﹣y）（x﹣2y）=0，即x﹣y=0或x﹣2y=0， 可得x=y或x=2y，
将x=y代入①，得：2y=5，y=，
故；
将x=2y代入①，得：3y=5，y=， 则x=
，
故；
综上，或．
【点评】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过分解等方法降幂求解即可．
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD?AB，求∠APD的正弦值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由AP2=AD?AB，AB=AC，可证得△ADP∽△APC，由相似三角形的性质得到
∠APD=∠ACB=∠ABC，作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质可求得AE，由三角函数的定义可得结论，
【解答】解：∵AP2=AD?AB，AB=AC， ∴AP2=AD?AC，
，
∵∠PAD=∠CAP，
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∴△ADP∽△APC， ∴∠APD=∠ACB=∠ABC， 作AE⊥BC于E， ∵AB=AC，
∴BE=CE=×24=12， ∴AE=
=5
，
∴sin∠APD=sin∠ABC=
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．自2014年5月1日起施行的《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段全程为200千米的高速公路限速120千米/时（即任意一时刻的车速都不能超过120千米/时）．以下是王师傅和李师傅全程行驶完这线段高速公路时的对话片断．王：“你的车速太快了，平均每小时比我快20千米，比我少用30分钟就行驶完了全程．”李：“虽然我的”李师傅超速违法吗？为什么？ 车速快，但是最快速度比我的平均速度只快15%，并没有超速违法啊．【考点】分式方程的应用．
【分析】由题意可知：王师傅行驶全程的时间﹣李师傅行驶全程的时间=0.5小时，根据等量关系列方程解答即可．
【解答】解：设李师傅的平均速度为x千米/时，则王师傅的平均速度为（x﹣20）千米/时． 根据题意，得：
﹣
=0.5，
解得：x1=100，x2=﹣80，
经检验，x1=100，x2=﹣80都是所列方程的根，但x2=﹣80不符合题意，舍去． 则x=100，
李师傅的最大时速是：100×（1+15%）=115千米/时＜120千米/时． 答：李师傅行驶途中的最大时速在限速范围内，他没有超速违法．
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【点评】此题考查分式方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DF∥AB分别交AC、BC于点E、F． （1）求证：四边形ABFD是菱形； （2）设AC⊥AB，求证：AC?OE=AB?EF．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABFD是平行四边形，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠ABD，证得AB=AD，即可得到结论；
（2）连接AF，OF，根据菱形的性质得到BD垂直平分AF，线段垂直平分线的性质得到AO=OF， 由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠FAC，推出△ABC∽△EOF，根据相似三角形的性质得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD，
∴四边形ABFD是菱形；
（2）连接AF，OF， ∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，
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∴∠CEF=∠BAC=90°， ∵四边形ABFD是菱形， ∴BD垂直平分AF， ∴AO=OF， ∴∠ABD=∠FAC，
∴∠FOE=2∠FCA=2∠ABD=∠ABC， ∴△ABC∽△EOF， ∴
，
∴AC?OE=AB?EF．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=
+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=
有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）先求得点A与点B的坐标，然后依据待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）先求得抛物线的对称轴为x=﹣1，依据点B与点C关于x=﹣1对称，可求得点C的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）①当CD∥AB时，AC=BC，故点D不存在；②如图1所示：当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，依据点A与D1关于x=﹣1对称可求得点D1的坐标；③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．先依据AAS证明△AMC≌△CBF，从而可求得AF=CE=4，于是得到D2B=2，然后再证明BHD2∽△AMC，从而可求得BH=，HD2=，于是可求得点D2的坐标． 【解答】解：（1）∵将x=4代入y=得：y=2， ∴B（4，2）．
∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6， ∴A（0，﹣6）．
∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y=+﹣6．
（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．
∴点B关于x=﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）． 设直线AC的解析式为y=kx+b．
∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：
，解得：k=﹣，b=﹣6，
∴直线AC的解析式为y=﹣6．
（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2）， ∴BC=10．
∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2）， ∴AC=∴AC=BC．
=10．
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