由式（8-6）
2?10?14?jnk ~nkX(k)??~x(n)W10??e10 n ? 0 （8-11） 0 n?
这一有限求和有闭合形式 10 ? 1 4 2? ?jnk~x)W X ( k ) ? ? ~ ( n 10 nk ? ? e 10 （8-12） n?0n?0
|~x(k)|
5
~ x(n)……
－10123456789101520k
~图 8-3 图8-2所示序列的傅里叶级数系数 的幅值 X(k)
~~x(n)式（8-6）中的周期序列 k ) 可看成是对 的第一个周期x(n)X(作Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2π/N采样而得到的。令
~?x(n)~x(n)?x(n)?RN(n)???00≤n≤N-1 其他n
~x(通常称x(n)为 n ) 的主值区序列，则x(n)的Z变换为
?N?1 X ( ) z ?n （8-13） ? n z)??x(n)z??~x (n n???n?0
把式（8-13）与式（8-6）比较可知
~ X(k)?X(z)z?W?e
~ （8-14）
X(k)可以看出，当0≤k≤N-1 时， 是对X(z)在Z平面单位圆上的
~X(k)N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， 的值呈周期变
?kN?2??j???N?KG?*4]k化。 图8-4画出了这些特点。
jIm[z]
2
1|z|＝13 2? / N 4o k＝0Re[z]
57(＝N－1)
6
图2-4图8-4 Z平面单位圆上的N点等间隔采样
~~x(n)由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序列 X(k )
也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。 因为
N?1N?1 j??j?nX(e)??x(n)e??~x(n)e?j?n n? 0 n ? 0 （8-15）
比较式（8-15）和式（8-6），可以看出
~X(k)?X(ej?)（8-16） ??2?k/N
这相当于以2π/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。
~(n)~例8-3 为了举例说明傅里叶级 和周期信号 X(k)数系数 x~~x(n)x(8-2n)所示的序的一个周期的傅里叶变换之间的关系，我们再次研究图
列 。 在序列 的一个周期中：
?1x(n)???0~0≤n≤4 其他
（8-17）
则 x (n ) 的一个周期的傅里叶变换是 41?e?j5?j??j?n?j2?sin(5?/2) X(e)??e??e1?e?j?sin(5?/2)n?0
可以证明，若将ω=2πk/10 代入式（8-18）， 即
4?k?j sin(5?k/10)~j?X(k)?X(e)?e10??2?k/10 sin(?k/10)
|X(e)| 5
……
o?2?3?4??
图 8-5 对图2-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值
|X(e)| , |X(k)| 5
……
o?2?3?4?? 01020k
图8-6 图2-3和图2-5的重叠图，它表明一个周期序列的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样
8.2 离散傅里叶级数（DFS）的性质 由于可以用采样Ｚ变换来解释DFS，因此它的许多性质与Ｚ变换性质~~x(n)X(k)非常相似。但是，由于 和 两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有的。
~~x1(n) 和x2 ( n)设?? 皆是周期为N的周期序列，们各自的DFS分别为：
~ ~ X 1(k)?DFS[x1(n)]~ X2(k)?DFS[~x2(n)]
8.2.1 线性 ~~DFS[a~x1(n)?b~x2(n)]?aX1(k)?bX2(k)
j?j?（8-19）
式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。这一性质可由DFS定义直接证明，留给读者自己去做。 8.2.2 序列的移位 2?jmk~?mk~~NDFS[x(n?m)]?WX(k)?eX(k) N~nl~（8-20） DFS[WNx(n)?X(k?l)（8-21a）
或 ~x(n)2??jnl~（8-21b） nl~IDFS[X(k?l)]?WNx(n)?eN~x(n)证 N?1nk~DFS[x(n?m)]??~x(n?m)WN
n?0 N?1?mki?mk ??~x(i)WNWN i ?m i=n+m
kix (i )及由于 ~ W N 都是以N为周期的周期函数， 故 N?1?mkki?mk~~DFS[x(n?m)]?WN?~x(i)WN?WNX(k)
i?0
~(n)~由于x X (k与) 的对称特点，可以用相似的方法证明式（8-21a）： N?1N?1~nl~nl~kn(l?k)nDFS[WNx(n)]??WNx(n)WN??~x(n)WN?X(k?l)
n?08.2.3 周期卷积 i?0如果
~~~ Y(k)?X1(k)X2(k)
N?1~则 ~y(n)?IDFS[Y(k)]??~x1(m)~x（2n?m） m?0或 ~ N ? 1~ (8-22) y(n)??x2(m)~x（1n?m） m?0证 1N?1~~~~?kn~y(n)?IDFS[X(k)X(k)]?X(k)X（?1212k）WN Nk?0代入
N?1~ mkX1(n)??~x1(m)WN m?0
得
1N?1N?1~~ ?(n?m)k~y(n)???x1(m)X（2k）WN Nk?0m?0N?1 ?1N?1~?(n?m)k?~?x(m)X（k）W?1??2N? Nm?0k?0?? N?1??~x1(m)~x2(n?m)
m?0
将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 N?1~y(n)??~x2(m)~x（ 1n?m）m?0
~x1(m)式（8-22）是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。
~~~x2(n?m) x2(m) （或??x1(n?m) 和 都是变量m的周首先，和
期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。
~x(n)周期卷积的过程可以用图8-7来说明，这是一个N=7 的周期卷积。~x(n)每一个周期里? ?有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个~x(n?m)宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。
~~周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一x(m)x(n?m)~y(n)位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行， 即
在一个周期内将 与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, …, N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列
~x(n)
(a) 0Nn－N ~x(n)
1
(d) 0nN－N~ x(m) (c)0N－1m
图 8-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积
~x(0?m) n＝0122211212(d)0~x2(1?m)N－1mn＝1(e)