称为内插函数。令其分子为零，得
z?e 即内插函数在单位圆的N等分点上（也即采样点上）有N个零点。 而
-k分母为零，则有z=W= ?的一个极点，它将和第k个零Ne点相抵消。因而，插值函数Φk(z)只在本身采样点r=k处不为零，在其他（N-1）个采样点r上（r=0, 1, …, N-1，但r≠k）都是零点（有（N-1）个零点）。而它在z=0 处还有（N-1）阶极点，如图8-8所示。
jIm[z]
|z|＝1 e e＝1 o(N－1)阶Re[z]
e
图 8-8 内插函数的零极点
现在来讨论频率响应，即求单位圆上z=ejω的Z变换。由式（8-29）可得
N?1 j?X(e)??X(k)?k(ej?) k? 0 （8-32） 而 ??N?sin???N?1k???j?N?? ? ? ( e j? ) ? 1 1 ? e ? 1 ? 2 ? e ? j?? 2 N?k2??j(??k)2?? NN?Nk????1?eN? sin?2?? ????
?????? sin?N??k??k?N?11 ?2N??jN(N?1)?j2???ee N sin ? ? ? ? k ?
??2N（8-33） ??
jj2πkN2?jNr=0, 1, …, k, …, N-1
2?kNj0j2π(N?1)N可将Φk(ejω)表示成更为方便的形式:
2???j??(e)????k?? （8-34） k
N??
?N?1???式中： 1sin(?N/2)?j??2??(?)?e Nsin(?/2) （8-35）
这样式（8-31）又可改写为 N ? 1 2???|??(?)|j?X(e)?X(k)??? ? 1? k ? （8-36）
N?N＝5?k?04π4π －NN 2πo2π?－2?－??2?－NN
arg[??(?)] 1π(1 －)N2π －N?2? －?－2?2πo? N1－π(1 －) N
2???图8-9 内插函数幅度特性与相位特性(N=5) ????k?N2??当变量ω=0 时， Φ(ω)=1， Φ??当?i （i=1, 2, …, N-1)时，
N 满足以下关系： (ω)=0。因而可知，
2??1??k??k ????k2?????N??? ? N ? ? 0 ? ? i 2 ? （8-37） ??i,i?k?N?
2??2?????????k????k也就是说，函数 2N ????1???k ?? 在本采样点NN??
??0 ， 而在其他采样点 ?上，函数 。 整个X(ejω)就是由N个 函数分别乘上X(k)后求和。 所以很明显，在每个采样点上X(ejω)就精确地等于X(k)（因为其他点的插值函数在这一点上的值为零，没有影响）即
2???,i?k???i?iN??2???????k?N???2?????i?kN?k??k??
X(ej?)??注意，一般来说，这里的X(ejω)和X(k)都是复数
?X(k)?的?权k插??加??各采样点之间的X(ejω)值由各采点?样?值函数
????2???N??2?kN?X(k) 在所求ω点上的值的叠加得到的。 ?
在以后章节中，我们将会看到，频率采样理论为FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。 ?
8.5.2 采样的图解说明
例8-4: 序列长度 L 小于采样点数 N
图8-10
X(ej?) x[n]
~XN(k)~xN[n]
图8-11
8.5.3 实例
例8?6： 设 ~x[n] 是下述x[n]的周期拓展?1, 0?n?4,x[n]??其 它.?0, sin(5?/2).令 N?10,sin(?/2)n?0sin(k?/2)~则 X(k)?X(ej?)?e?j4k?/10.??2k?/Nsin(k?/10)X(e)??ej?n?e?j2?j?42?N
~X(ej?),X(k)?0 2N ? 2? ?0 5 10 k 图8-12 例8-7:
例8-7:
x[n]~j?~X(e)?X(k)采样
周期化 ~x[n]
8-6 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 8.6.1 DFT的定义?
我们前面讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。
设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即
??x(n)0?n?N?1x(n)???其他n?0