x(Nn)的周期序列 为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为
~的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表x(n)~示成:
~??x(n)0?n?N?1x(n)???其他n?0~x(n)?r????x(n?rN)?这个关系可以用图8-14来表明。 的第一个周期n=0 ~x通常把(n)~到n=N-1 定义为”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值x(“n主值区间)区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间
彼此并不重叠，故上式可写成
图8-14
－N0主值区间2-8N－1n0N－1n~x(n)?x(nmodN)?x((n))Nx(n) (8-38)
~x(n)用((n))N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值”。 令
0≤n1≤N-1, m为整数 则n1为n对N的余数。
例如， 是周期为N=9的序列，则有： ~x ( n)
~x(8)?x((8))9?x(8)~x(13)?x((13))?x(4)~x(22)?x((22))9?x(4)~x(?1)?x((?1))?x(8)99n?n1?mN利用前面的矩形序列RN(n)，式（8-24）可写成 ~ (8-39)
x(n)?x(n)RN(n)~同理，频域的周期序列X(k) 也可看成是对有限长序列X(k)的周期
~X(k)X(k)可看成是周期序列 的主值序列，延拓，而有限长序列
即:
~ X ( k ) ? X (( k )) N (8-40)
~X(k)?X(k)RN(k)(8-41)
我们再看表达DFS与IDFS的式(8-6)和式(8-7)：
N?1~nk~X(k)?DFS[x(n)]??~x(n)WNn?01~~x(n)?IDFS[X(k)]?N~X?(k)WN?nkk?0N?1这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:
nkX(k)?DFT[x(n)]??x(n)WNN?1 n ? （8-41） 0 0≤k≤N-1 N ?1 0≤n≤N-1 8-42）
1 x(n)?IDFT[X(k)]??X(k)WN?nkNk?0x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称式(8- 41)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式(8-42)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 ?
此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。
例8-8已知序列x(n)=δ(n)，求它的N点DFT。 ? 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式（8-41）得到： N ? 1 k=0, 1, …, N-1
nk0X(k)???(n)WN?WN?1
?0δ(n)的nX(k)如图8-15。这是一个很特殊的例子，它表明对序列δ(n)来说，不论对它进行多少点的DFT，所得结果都是一个离散矩
??(n)X(k)形序列。 11
…
图8-15 序列δ(n)及其离散傅里叶变换 012N－1k例 8-9 已知x(n)=cos(nnπ/6)0是一个长度N=12的有限长序列， 求它的N点DFT?。 ?
解 由DFT的定义式（8-41）
n?n??11 ?jnk??j2n?nk111?j6612??X(k)??cosW12???e?e?e 62n?0n?0?? 2?2?1?11?j12n(k?1)11?j12n(k?1)????e??e）式，再考虑到利用复正弦序列的正交特性（8-3k的取值区间，可???2?n?0n?0?得 ??6k?1,11X(k)??
??0其他k,k?[0,11]
x(n)X(k)
图 8-16 有限长序列及其DFT 01211n0111n例8-10 已知如下X(k): ?3X(k)???1k=0 1≤k≤9
求其10点IDFT。 解 X(k)可以表示为
X(k)=1+2δ(k) 0≤k≤9
写成这种形式后，就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 由于一个单位脉冲序列的DFT为常数：
x1(n)??(n)
X1(k)?DFT[x1(n)]?18.6.2 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系
若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换
N?1
X(z)??x(n)z?n-kN
比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W时 n?0 N?1nkX(z)z?W??x(n)WN?DFT[x(n)]即
n?0 X ( （8-43） k)?X(z)z?W 表明 2 ? 的W 是Z平面单位圆上幅角为 ??kz?W?eN点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值，如图8-17所示。此外， 由于序列的傅里叶变换X(ejω)即是单位圆上的Z变换，根据式（8-43）， DFT与序列傅里叶变换的关系为
X(k)?X(ej?)2??X(ejk?)（8-44） ??kN（8-45）
2??N?
N式（8-46）说明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N， 这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同， 表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数不同， 所以DFT的变换结果也不同。
jIm(z)
WX(e?) X(k)WW
ok＝0Re[z]图 8-17 DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系 W例 8-11 有限长序列x(n)为 o??W 0≤n≤4
1? x ( n)?? 其余n
求其N=5 点离散傅里叶变换X(k)。 ?0解 序列x(n)如图8-18（a）所示。在确定DFT时，我们可以将
?kN?kN?2??j??k?N??kN?kNN?2N?1N0Nj?(N?2)N?(N?3)N~x(n)~x(n)x(n)看作是一个长度N≥5的任意有限长序列。首先我们以N=5 为周期将x(n)延拓成周期序列 ，如图8-18（b）， 的DFS与x(n)的DFT相对应。因为在图8-18（ b）中的序列在区间?0≤n≤N-1 上为常数值，所以可以得出
?Nk=0, ±N, ±2N, … 1?e?j2?k~ N?1?j(2?k/N)nN 的整数倍处才有非零的DFS系数X也就是说，(k)?e只有在k=0 ?和k=???j（2?k/N)0 其他 1?e8-18（c）所示。为了说明傅里叶级 值。这些DFS系数如图n?0?x (k数 ~ ) 与x(n)的频谱X(ejω)间的关系，在图8-18（c）中也画出了
jω)在频率ωk=2π傅里叶变换的幅值|X（ejω)|。显然， 就是X(e
~k/N 处的样本序列。按照式（8-40），x(n)的DFT对应于取 的一X(k)个周期而得到的有限长序列X~(k)。这样，x(n)的5点DFT如图8-18
X(k)（d）所示。
~ X(k)2?5?1 ?jnk=0, 1, 2, 3, 4 5 X ( k ) ? x ( n ) e k k=0 n?0x(n)
j2?k5 ? 1?e?(a)???0~4n 2?x(n)?jk0 k=0, 1, 2, 3, 4 ? 51?e……
(b)n0图 8-18 ?DFT?的举例说明? ~X(k)（a） 有限长序列x(n); 5 |X（b） 由x(n)形成的周期N=5(e)|的周期序列; ? (c)1234567891011k－10O ~（c） 对应于 ~ 的傅里叶级数 和x(n)的傅里叶变换2?4??x(n)X(k)X(k)5的幅度特性|X(ejω)|; （d） x(n)的DFT X(k) (d)kx(n)01234 1
(a)04 n~x(n)
1
(b)010 图 8-19 － 10 DFT的举例说明 4n|X(k)| 由x(n)形成的周期N=10的周期（a） 有限长序列x(n); （5b）??j?3.243.24~x(n)(c)－1001.2411.2410k