圆周卷积正是周期卷积取主值序列
y(n)?x1(n)L 因此 ???y(n)?y(n?rL)所以要使圆周卷积等于线性卷积而不产生混叠的必要条件为 ??1?RL(n)?r???? N ? N ? 1 （8-51） L ?12满足此条件后就有 y(n)?y1(n)即 x1(n) ○x2(n)=x1(n)*x2(n) 图8-16（d）、（e）、（f）正反映了（8-50）式的圆周卷积与线性卷积的关系。在图8-22（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，这时产生混叠现象，其圆周卷积不等于线性卷积；而在图8-22（e）、（f）中, L=8和L=10，这时圆周卷积结果与线性卷积相同，所得y(n)的前8点序列值正好代表线性卷积结果。 所以只要L≥N1+N2-1，圆周卷积结果就能完全代表线性卷积。
图8-22 线性卷积与圆周卷积0 1234~x2(n)?y(n)RL(n)
x1(n)1(a)N1＝40123x2(n)1(b)N2＝5nn
(d)(c)L x(n)x1(n) y1(n)2N1＋N2－1＝84L＝64332211012345n－1012345678910nLx1(n) x(n)2(e)线性卷积与圆周卷积 图8-22 012345674321L＝8
例 8-12 一个有限长序列为 x(n) x(n)x(n)??(n)?2?(n?5)43211Ln2（1） 计算序列x(n)的10点离散傅里叶变换。 ? （2） 若序列( f )y(n)的DFT为
L＝10Y(k)?x(n)e10X10(k)点离散傅里叶变换，求序列y(n)。 式中，X(k)是的j2k01234567892?n（3）若10点序列y(n)的10点离散傅里叶变换是
式中, X(k)是序列x(n)的10点DFT，W(k)是序列w(n)的10点DFT
Y(k)?X(k)W(k)?1w(n)???0求序列y(n)。
解 （1） 由式（8-30）可求得x(n)的10点DFT
0≤n≤6 其他
X(k)??x(n)Wn?0N?1nkNnk??[?(n)?2?(n?5)]W10n?010?12?（2）X(k)乘以一个5kWNkm?j形式的复指数相当于是x(n)圆周移5kk10?1?2W10?1?2e?1?2(?1)位m点。 本题中m=-2, x(n)向左圆周移位了2点， 就有
y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)
（3）X(k)乘以W(k)相当于x(n)与w(n)的圆周卷积。为了进行圆周卷积，可以先计算线性卷积再将结果周期延拓并取主值序列。 x(n)与w(n)的线性卷积为??
z(n)=x(n)*w(n)=｛1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2｝ 圆周卷积为 ???y(n)?z(n?10r)在 0≤n≤9 求和中，仅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表???R10(n)?r????列出z(n)和z(n+10)的值，对n=0, 1, 2, …, 9求和，得到： 0 1 2 3 4 5 6 10 n 7 8 9 11 1 1 1 1 1 3 3 Z(n) 2 2 2 2 2 z(n+10) 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 1 1 1 3 3 __ y(n) 2 2 2 __
所以10点圆周卷积为
y(n)=｛3, 3, 1, 1， 1, 3, 3, 2, 2, 2｝ 8.7.5 共轭对称性?
设x*(n)为x(n)的共轭复序列，则 DFT［x*(n)］=X*((-k))NRN(k)=X*((N-k))NRN(k)
? =X*(N-k) 0≤k≤N-1 且
X(N)=X(0)
证
?N?1nk?nk?DFT[x*(n)]??x*(n)WNRN(k)???x(n)WN?RN(k)n?0?n?0?*N?1*
?N?1(N?k)n??X*((?k))R(k)?x(n)WR≤ 0k)≤N-1 N(k N N ? ? N ??n?0?这里利用了
?X*((N?k))NRN(k)?X*(N?k)nNWN?e?e?j2?n?1因为X(k)的隐含周期性，故有X(N)=X(0)。 ? 用同样的方法可以证明
?j2?nNN
也即
DFT[x*((?n))NRN(n)]?DFT[x*((N?n))NRN(n)]?X*(k)
在前面列出了序列傅里叶变换的一些对称性质，且定义了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念。在那里， 对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。 DFT也有类似的对称性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其离散傅里叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为 0 到N-1，所以，这里的对称性是指关于N/2 点的对称性。 ?
设有限长序列x(n)的长度为N点，则它的圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)分别定义为:
1 xep(n)?[x(n)?x*(N?n)] 2 （8-54）
1 xop(n)?[x(n)?x*(N?n)] 2 （8-55） 则两者满足:
8-53 DFT [ x * ( ? n )] ? （NX*(k)）
xep(n)?x(N?n)xop(n)??x(N?n)*op*ep０≤n≤N-1 （8-56）
０≤n≤N-1
（8-57）
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，
任何有限长序列x(n)都可以表示成其圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n) 0≤n≤N-1
由式（8-53）及式（8-54），并利用式（8-55）及式（8-56） ， 可得圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT分别为： DFT［xep(n)］=Ｒe［X(k)］ (8-59) DFT［xop(n)］=j Im ［X(k)］(8-60) 证
?1?*DFT[x(n)]?DFT(x(n)?x(N?n)) ep???2?
11?DFT[x(n)]?DFT[x*(N?n)]
22
利用式（8-53），可得 1DFT[x(n)]?[X(k)?X*(k)]?Re[X(k)] ep2
则式(8-59)得证。同理可证式（8-60）。
下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。 ?
若用xr(n)及xi(n)分别表示有限长序列x(n)的实部及虚部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (8-62) 式中：
1xr(n)?Re[x(n)][x(n)?x*(n)]
2 1jxi(n)?jIm[x(n)]?[x(n)?x*(n)]
2 则有：
1 DFT[xr(n)]?Xep(k)?[X(k)?X*(N?k)]2
1 DFT[jxi(n)]?Xop(k)?[X(k)?X*(N?k)]2
式中，Xep(k)为X(k)的圆周共轭对称分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)为X(k)的圆周共轭反对称分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。
证
DFT[x(n)]?1{DFT[x(n)]?DFT[x*(n)]}r2
利用式（8-56）， 有
1 DFT[x(n)]?{X(k)?X*(N?k)]?X(k)r2ep
这说明复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量。同理可证式（8-62）。式（8-62）说明复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量。
此外，根据上述共轭对称特性可以证明有限长实序列?DFT的共轭对称特性。 ?
若x(n)是实序列，这时x(n)=x*(n)，两边进行离散傅里叶变换并利用式（8-57），有
? X(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k) (8-63)
由上式可看出X(k)只有圆周共轭对称分量。 ? 若x(n)是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭反对称分量， 即满足?? X(k)=-X*((N-k))NRＮ(k)=-X*(N-k)
8.7.6 DFT形式下的帕塞伐定理 N?11N?1*x(n)y(n)??X(k)Y*(k) ?Nk?0n?0
证 N?1*N?1N?11???kn x(n)y*(n)??x(n)??Y(k)WN??Nk?0n?0n?0??
1N?1*N?11N?1kn ??Y(k)?x(n)WN??X(k)Y*(k)Nk?0Nn?0n?0
如果令y(n)=x(n)，则式（8-63）变成 N?11N?1*x(n)x(n)??X(k)X*(k) ?Nk?0n?0 即
这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。 ?
最后我们在表8-3中列出了DFT的性质，以供参考。
表 8-3 DFT性质表(序列长皆为Ｎ点)