考点： 全等三角形的判定． 专题： 动点型． 分析： 根据垂直得出∠C=∠PAQ=90°，根据已知得出AP=BC，AQ=AC时两三角形全等，即可得出答案． 解答： 解：∵BC、AX分别垂直于AC， ∴∠C=∠PAQ=90°， ∵点Q的运动速度是点P运动速度的2倍， ∴设AP=t，则AQ=2t， 即AQ=2AP， ∵AC=2BC， ∴要使△ABC与△APQ全等，一定是AP=BC，AQ=AC， ∵AX=2BC， ∴当P运动到AC的中点时，△ABC与△APQ一定全等， 故答案为：AC的中点． 点评： 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 17．（4分）（2012?通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6 ．
菁优网版权所有
考点： 角平分线的性质． 专题： 压轴题． 分析： 首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值． 解答： 解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， 菁优网版权所有∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6． 故答案为：4：5：6．
11
点评： 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 三、解答题（89分） 18．（8分）计算
4334
（1）（12xy﹣6xy+3xy）÷（﹣3xy）；
5433
（2）[2（a+b）﹣3（a+b）﹣（﹣a﹣b）]÷2（a+b）． 考点： 整式的除法． 分析： （1）根据多项式除以单项式的法则进行计算即可； （2）把（a+b）看做一个整体，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 43343223解答： 解：（1）（12xy﹣6xy+3xy）÷（﹣3xy）=﹣4xy+2xy﹣1； 菁优网版权所有（2）[2（a+b）﹣3（a+b）﹣（﹣a﹣b）]÷2（a+b）=（a+b）﹣（a+b）+． 点评： 本题考查多项式除以单项式运算，多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加． 19．（16分）因式分解下列各式：
2234
（1）4ax﹣12ax﹣ax；
mm﹣1m﹣2
（2）a+a+a（m为正整数，且m≥3）；
23
（3）10（a﹣b）﹣5（b﹣a）；
33
（4）﹣8（m﹣n）+4n（n﹣m）． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 计算题． 分析： （1）原式提取公因式即可得到结果； （2）原式提取公因式即可得到结果； （3）原式提取公因式即可得到结果； （4）原式变形后，提取公因式即可得到结果． 23解答： 解：（1）原式=ax（4ax﹣12ax﹣1）； 菁优网版权所有54332（2）原式=a（a+a+1）； 2（3）原式=5（a﹣b）（2+a﹣b）； 333（4）原式=8（n﹣m）+4n（n﹣m）=4（n﹣m）（2+n）． 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．（8分）如图，在墙角O处有一个老鼠洞，小猫在A处发现自己的“冤家”老鼠正在B处准备往洞口方向逃窜，小猫想：“这一次不能再让你逃掉了．”于是立即前去捕捉，假设小猫与老鼠的速度相同，你能确定小猫抓住老鼠的位置吗？请在图中通过作图的方法标出（不需书写作图过程，保留作图痕迹即可）．
m﹣22
考点： 勾股定理的应用；作图—应用与设计作图． 分析： 连接AB．做AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为C，因为速度一样，所以AC的距离等于BC的距离，所以三角形ACB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过C点． 解答： 解：如图所示： 菁优网版权所有 12
点评： 本题考查了勾股定理的应用以及基本作图，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 21．（8分）某养殖专业户现计划投资建仔猪场和成猪场，两个养殖场均为正方形．已知成猪场的面积比仔猪场的面
2
积大40m，两个猪场的围墙总长为80m，请你帮助他计算出这两个猪场的面积分别是多少？（两个猪场没有公共围墙）． 考点： 一元二次方程的应用． 专题： 几何图形问题． 分析： 2设仔猪场的边长为am，则成猪场的边长为=20﹣a，于是仔猪场的面积为a，成猪场的面积为（20菁优网版权所有﹣a），根据题意，得（20﹣a）﹣a=40，解此方程即可． 解答： 解：设仔猪场的边长为am，则成猪场的边长为22222=20﹣a， 根据题意，得（20﹣a）﹣a=40 解得a=9，故20﹣a=11， 22则仔猪场的面积为81m，则成猪场的面积为121m， 22答：这两个猪场的面积分别是81m，121m． 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用题以及正方形的周长、面积公式以及平方差公式等知识点，得出正确的等量关系是解题关键． 22．（8分）数学课上，老师出了一道题目：化简这道题太简单了，因为平方和开平方互为逆运算，所以这是因为如果
=
已知x=
，求
=a成立，那么必须具备条件：a≥0，而1﹣
．同学们马上举手发言，小刚站起来说：“老师，
=1﹣
．”而老师却说小刚错了，为什么呢？
＜0．正确的思路应该是先比较大小，然后开方，
﹣1．同学们，你们看明白了吗？请你做一做下面这道题：
+
的值．
考点： 二次根式的性质与化简． 专题： 阅读型． 分析： 首先根据完全平方公式把被开方数分解因式，然后再开平方，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号合并同类项即可． 解答： 解：+ 菁优网版权所有=
+
13
=|x﹣4|+|3﹣x| =4﹣x+x﹣3 =1． 点评： 此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握=|a|． 23．（8分）我校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为30米/分钟，第二组的速度为40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米． （1）请你判断一下两组同学行走的夹角是否为直角？并说明理由．
（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？ 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： （1）先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）根据路程和÷速度和=相遇的时间，列式计算即可求解． 解答： 解：（1）第一组的路程：30×30=900（米）， 第二组的路程：40×30=1200（米）， 222∵900+1200=1500， ∴两组同学行走的夹角是直角； （2）1500÷（30+40） =1500÷70 菁优网版权所有=21（分钟）． 答：经过21分钟后才能相遇． 点评： 考查了路程中的相遇问题，勾股定理的逆定理的运用．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形． 24．（8分）如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP=CP．
222
考点： 等腰三角形的性质． 专题： 证明题． 分析： 首先利用等腰三角形三线合一的性质得到AP是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质证得结论即可． 解答： 解：∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∴AP是BC的垂直平分线， ∴BP=CP． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的底边的中线、底边的高与顶角的平分线三线合一，难度不大． 菁优网版权所有 14
25．（12分）在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求厶ABC各内角的度数． 考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 因为题中没有指明是过顶角的顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解． 解答： 解：①∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠B=45°，∠C=45°，∠BAC=90°． ②∵AB=AC，AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°． ③∵AB=AC，AD=BD=BC， ∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A， ∴∠ABC=∠C=2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴5∠A=180°， ∴∠A=36°，∠C=72°，∠ABC=72°． ④∵AB=AC，AD=BD，CD=BC， ∴∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠CDB=∠CBD， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A， ∴∠ABC=∠C=3∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴7∠A=180°， 菁优网版权所有∴∠A=（）°，∠C=（）°，∠ABC=（）°． 15