《普通高中课程标准实验教科书·数学3》（人教A版） 算法初步简介 算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想也正在成为普通公民的常识，成为现代人应具备的一种基本数学素养． 一、课程目标与内容安排 1．课程目标 算法是高中数学课程中的新增内容，其思想是非常重要的，但并不神秘．例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的过程就体现着算法．在算法教学中，学生将学习算法的初步知识，并通过对具体算法案例的分析，体验算法在解决问题中的重要作用，培养算法基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考与数学表达的能力． 具体来说，通过算法的学教，应当使学生达到以下目标： （1）通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），了解算法的含义，体会算法的思想． 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达算法并解决问题的过程．在具体问题的解决过程中（如质数的判定、用“二分法”求方程的近似解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． （2）理解输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句等基本算法语句，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，进一步体会算法的基本思想． （3）通过阅读中国古代数学中的算法案例（如求最大公因数的“更相减损术”、求多项式的值的秦九韶算法、求圆周率的“割圆术”等），体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感． 2. 知识结构 （1）知识框图： 算法 算法与程序框图 算法含义 程序框图 输入与输出语句 基本算法 语句 赋值语句 条件语句 循环语句 辗转相除法 算法案例 秦九韶算法 进位制 顺序结构 条件结构 循环结构 框图的画法 （2）课时分配 本章包括3节，约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）： 1.1 算法与程序框图 约4课时 1
1.2 基本算法语句 约3课时 1.3 算法案例 约4课时 阅读与思考——割圆术
小 结 约1课时 3. 内容安排 （1）尽管目前对算法的表述多种多样，但在对各种表述进行比较后我们能发现算法的基本特征以及由这些基本特征所表达的算法内涵。因此，教科书通过概括解二元一次方程组的步骤，以“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤”来介绍算法的含义．在此基础上，又通过质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题，分析其算法步骤以帮助学生进一步理解算法的基本含义并渗透算法思想．
（2）在“算法的含义”中，是通过解决具体问题的算法步骤来表达算法的．这种形式所呈现的算法通俗易懂，但是不够准确，算法的基本结构也不清晰．因此，教科书通过以框图形式表示“质数的判定”的算法，介绍了算法的基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构），以及用程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观，也更准确．
（3）顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构，理论上任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现．框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最好方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素．因此，教科书将这三种基本逻辑结构的教学与程序框图的教学结合起来，这不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度，也为学习程序框图的画法提供了前提条件．所以，三种基本逻辑结构与程序框图也就成了算法内容的教学重点．
（4）为了在教学中突破程序框图的画法这一算法教学难点，教科书结合“用二分法求方程的近似解”这一算法，详细介绍了程序框图的画法，并总结了画程序框图的以下步骤：
第一步：用自然语言将算法步骤表达出来．
第二步：将每一个算法步骤所包含的逻辑结构找出来并用框图表示，得到该步骤的程序框图．
第三步：将所有步骤的程序框图用流程线连接起来并加上终端框，得到表示算法的程序框图．
（5）当今世界，越来越多的事情交付计算机完成，而计算机完成任何一项任务都需要算法，因此算法是计算机科学的基础．但是，用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的，因此我们还需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来，这就是通常所说的程序与程序设计，所用的语言称为程序设计语言（programming language）．程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成，与程序框图中介绍的算法三种基本逻辑结构相对应．教科书介绍了输入输出语句 、赋值语句、条件语句和循环语句，尽管不同的程序设计语言有不同的语句形式和语法规则，但基本结构是相同的．基于这样的原因，教科书所介绍的语句形式及程序稍加修改就可以变为某些具体的程序设计语言形式的程序而在计算机上加以执行．
2
（6）与其它数学内容的学习相比较，算法学习的一个最大的特点就是操作实践性强．因此，教科书在安排教学内容时，不仅在1.3节专门安排了“辗转相除法”、“秦九韶算法”与“进位制”三个算法案例，而且大多数算法知识的安排都是结合具体例子进行的．例如用“二元一次方程组的解法”介绍算法的含义；用“质数的判定”的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻辑结构；以“用二分法求方程的近似解”介绍程序框图的画法；用“计算1＋2＋…＋100的值”介绍直到型与当型两种不同的循环结构与循环语句，等等．
二、编写意图
1．重视算法的内涵与基本特征
（1）在算法概念的表述中，强调了在“数学中”，这就为教学时选取教学内容（特别是具体的算法案例）指定了范围，教科书也因此只针对数学上的算法案例来阐述算法的概念。这样处理，就是为了避免将算法的概念泛化，以至于教学目标不落实。
（2）“步骤”是算法的最显著的特征，它蕴含着“有序性”。同时，算法的步骤不能不明确，也就是说算法步骤具有“明确性”。例如下列的内容中“……”就不具有算法步骤的“明确性”：
第一步，给定大于2的整数n．
第二步，用2去除n，得到余数t．若t=0，则2能够整除n， n 不是质数，算
法结束；否则，进入第三步．
第三步，用3去除n，得到余数t．若t=0，则3能够整除n， n 不是质数，算法结束；否则，进入第四步． ……
第（n-1）步，用（n-1）去除n，得到余数t．若t=0，则（n-1）能够整除n， n 不是质数，算法结束；否则， n是质数．
所以，算法的步骤每一步都应该是明确的，任何人（特别是计算机）都可以根据给定的步骤逐步执行步骤就可得出正确结论。
算法的第三个基本特征是步骤的“有限性”，也就是说任何一个算法都必须在有限步内完成。因此，尽管算法还有其它一些特征，但“有序性”、“明确性”和“有限性”是算法的基本特征。
（3）在算法概念的表述中，“一定规则”指的是设计算法时的依据，例如“辗转相除法”和“更相减损术”是求两个正整数的最大公约数的不同依据，这些依据通常是不同的数学结论或数学方法，因而是不同的规则。因此，根据不同的规则得到的算法就是不同的算法，这与算法是用算法步骤，还是用程序框图或程序来表示是无关的。由此可知，在设计“求解二元一次方程组”的算法时，由于消元方法的不同也会对应不同的算法。
（4）一个算法通常有输入和输出，对于不同的输入就有不同的输出，因此，设计算法通常针对解决“某一类问题”，强调的是算法的通常态，但这不排斥把解决某一个具体问题的步骤也看成是算法。
3
输 入 算 法 输 出 因此，教科书在安排“求解二元一次方程组”、“质数的判定”和“用二分法求方程的近似解”三个案例时，都是先具体再一般，这不仅便于学生理解，更重要的是强调算法通常是用来解决“某一类问题”这一通常态。 （5）在算法的内涵中，最重要的是算法步骤之间的逻辑结构，它不仅是算法的基石，同是也是算法能在计算机上实现的基本保证。虽然程序框图是表达算法逻辑结构的最直观的方法，教科书把算法的基本逻辑结构也安排在学生学习程序框图时介绍，但算法的基本逻辑结构是不依赖于程序框图而存在的。因此，教科书在安排算法的内容时，始终重视算法的基本逻辑结构。 2．强调算法基本思想 中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法知识外，更重要的是使学生接受算法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标．因此，在编写教科书时，选取最基本的算法知识作为教学内容，如算法的含义、三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）、程序框图及其画法、五种基本算法语句（输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程序的编写，而像数组、函数、转向语句等等在程序设计中使用频率较高的知识均未作介绍，其目的就是不让学生把注意力放在更多的算法知识的学习上，而应该更多地关注算法基本知识与算法思想的提炼． 例如，在介绍循环语句时，教科书介绍了DO型与WHILE型两种不同的循环语句，但没有介绍FOR型循环语句，原因是用FOR型循环语句实现的循环结构，均可用DO型或WHILE型循环语句代替．比如设计“计算1＋2＋…＋100的值”的程序时，用DO型或WHILE型循环语句编写的程序分别是： i＝1 i＝1 S=0 S=0 DO WHILE i<=100 S=S+i S=S+i i＝i+1 i＝i+1 LOOP UNTIL i>100 WEND PRINT S PRINT S END END 以上两个程序分别清楚地体现了算法中所包含的直到型循环结构与当型循环结构，并且均有控制循环的条件对应条件结构，这表明循环结构中一定包含条件结构，否则程序将进入“死循环”，这对于理解算法含义中算法步骤是“有限”的是很有帮助的．但如果用FOR型循环语句实现算法，尽管程序要简单，但不利于体会算法中的循环结构．而且，学会了前两种循环语句，对后一种循环语句的使用将是水到渠成的事情． 算法的学习让学生认识到“有计划按步骤”地完成一件事情的好处，同时也形成有条理地思考和数学化地表达思考的能力．因此，教科书在分析算法案例时，本身就遵循了“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序”的步骤，这对于学生形成 4
算法思想是很有帮助的． 例如，教科书给出的用“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的算法案例的完整过程如下： 算法分析： 从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构构造算法． 算法步骤如下： 第一步，给定两个正整数m，n． 第二步，计算m除以n所得的余数r． 第三步，m= n，n =r． 第四步，若r=0, 则m，n的最大公约数等于m ；否则，返回第二步． 程序框图： 程序： INPUT m，n DO r = m mod n m＝n n＝r LOOP UNTIL r＝0 5 PRINT m END 开 始 输入m，n 求m除以n的余数r m＝n n＝r r＝0？ 是 输出m 否 结 束