3．对内容安排的说明 本章内容的安排，重点考虑了如下几个方面． (1) 利用随机事件的频率给出概率的定义与性质． (2) 通过试验模拟等方法澄清日常生活中对概率的错误认识．给出应用概率解决实际问题的几个例子，包括用概率检验游戏的公平性，概率在决策中的应用，概率在天气预报中的应用，等等． (3) 给出两个概率模型（古典概型和几何概型）下概率的计算公式． (4) 有两种产生随机数的方法，一种是由试验产生的随机数，另一种是利用计算器或计算机产生的（伪）随机数，通过模拟的方法估计随机事件发生的概率． (5) 通过阅读与思考等栏目加深对随机现象的理解，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有广泛的应用． 三、主要内容的编写意图与教学建议 1. 随机事件的概率 ⑴ 随机事件的概念 由于在初中学生已接触过随机事件、不可能事件、必然事件的概念，所以教科书以“北京的天气变化情况”“水稻种子发芽后的生长情况”为例，简略叙述了客观世界中偶然与必然的内在联系，给出了随机事件、不可能事件、必然事件的概念．这些概念与初中教科书略有不同．例如，随机事件的概念，初中教科书中叙述为“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件”，本章则叙述为“在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件”，这里条件S可以是一个条件，也可以是一组条件（可以理解为一个条件集），这样可以使表述更加清楚和简洁． ⑵ 概率的定义 根据《标准》的要求，教科书给出了概率的统计定义，而非严格的数学定义，这种定义方式对学生来说较为陌生，因此在教学中要做好铺垫．教学时可以分为下面几个层次： ① 特殊的试验：通过大量的掷硬币试验结果，包括学生的试验结果、计算机模拟掷硬币的试验结果、历史上一些掷硬币的试验结果等，同时通过统计表和统计图等手段，使学生感受到随着试验次数的增加，正面朝上的频率在0.5附近摆动． 注意：不可以省略学生亲手做试验这一步，因为这个试验才是真正的重复试验，计算机模拟只能是掷硬币试验的一种近似，它是用数学方法来近似模拟这个试验的． ② 由特殊事件转到一般事件．一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]中的某个常数上． ③ 解释这个常数代表的意义：这个常数越接近1，表明事件A发生的频率越大，频数就越多，也就是它发生的可能性越大；反过来，这个常数越接近0，表明事件A发生的频率越小，频数就越少，也就是它发生的可能性越小．所以可以用这个常数度量事件A发生的可能性的大小． 概率是用来度量事件发生可能性大小的量．小概率事件很少发生，而大概率事件经常发生．例如，如果一个袋子中有99个红球，一个白球，从中随机摸出一球，此球更可能是红球；如果某种彩票的中奖概率为1，那么买一张彩票更可能不中奖． 1 000⑶ 概率与频率的关系 16
在引导学生对概率与频率之间关系进行讨论的基础上，可以帮助他们从以下几个方面进行总结： ① 频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．比如一辆汽车在一年内出交通事故的概率就是未知的，保险公司收取汽车的保险费应与此概率有关，一般以当地交通部门的统计数据为依据，得到该事件发生的频率作为一年内出交通事故的概率的估计值． ② 频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同，比如全班每个人都做了10次掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的． ③ 概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，如果一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关． ⑷ 概率的意义 与《大纲》不同的是，《标准》更强调学生对概率的意义的理解．本章专门安排了一节内容帮助学生从多个方面理解概率的意义，包括“概率的正确理解”“游戏的公平性”“决策中的概率思想”“天气预报的概率解释”“试验与发现”“遗传机理中的统计规律”，其中关键要让学生理解随机性和规律性之间的关系，随机性是指每次试验随机事件是否发生是随机的；规律性是指大量重复试验的结果是有规律的，大概率事件经常发生，而小概率事件在一次试验中几乎不会发生． 其中，“概率的正确理解”通过剖析反例,澄清日常生活中的错误认识，达到正确理解概率的意义的目的；“游戏的公平性”说明概率可以用来衡量游戏或比赛的公平性；“决策中的概率思想”说明概率可以解释统计中的极大似然方法的思想，即将“使得样本出现的可能性最大”作为决策的准则；“试验与发现”“遗传机理中的统计规律”则说明“3：1”的统计规律最终导致了孟德尔遗传定律的发现． ⑸ 事件的关系与运算 随机事件可以看成集合，所以可以类比集合之间的关系与运算，得到事件之间的关系与运算．教学中可以把事件与集合对应起来，并可利用Venn图的直观表示，还可以给出下面的对比表： 符号 ? ? ? ? 概率论 必然事件 不可能事件 试验的可能结果 事件 事件A的对立事件 事件B包含事件A 事件A与事件B相等 事件A与事件B的并 事件A与事件B的交 事件A与事件B的差 事件A与事件B互斥 全集 空集 ?中的元素 ?的子集 集合A的补集 集合论 A A?B ?=? ???或?+? ??? ?－? ???=? 集合B包含集合A 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A与集合B的差 集合A与集合B的交为空集 ⑹ 概率的几个基本性质 这部分内容的教学需要注意的是： ① 教科书是通过类比频率的性质，利用频率与概率的关系得到概率的基本性质的． ② 要注意这里的推导并不是严格的数学证明，仅仅是形式上的一种解释．因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述，没有给出严格的定义，严格的定义要在大学的概率统计课程中才能给出． 17
③ 加法公式是概率基本性质中最重要的，它也是下一节推导古典概型计算概率公式的基础，特别要提醒学生注意概率的加法公式的条件，即两个事件互斥．
2. 古典概型
教科书以掷硬币和骰子试验为例，给出了古典概型的公式推导过程，并推广到一般的古典概型；精选了典型的有实际背景的例题，如标准化考试单选题、储蓄卡密码和不合格产品的检验等问题，来说明解决古典概型问题的过程．
这部分内容的教学重点是让学生理解古典概型的两个特征，即试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，同时让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，因此教学中不要把重点放在计算上，更不要补充排列组合的内容，因为这样一方面大大加重了学生的学习难度，另一方面影响了他们对古典概型这种概率模型的理解，而且由于时间的限制还可能影响学生对排列组合的理解．为此，教科书选择的例题和习题包含的基本事件数都比较少，学生可以比较容易地列举出来．教学中还要注意让学生从实际问题中抽象出古典概型，并在计算出随机事件的概率后，让学生解释一下它在实际中的意义及其应用．
3. 几何概型
几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，它的特点是实验的结果在一个区域内，并呈现均匀分布，即随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的度量（长度、面积或体积等）大小成比列．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的度量为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．
几何概型的引入主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，所以随机模拟部分是本节的重点内容，对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，教学中还要强调从实际问题中抽象出几何概型的重要性．
4. 随机数与随机模拟
本章介绍了利用计算器和Excel软件产生（取整数值的）随机数和均匀随机数的方法，以及其他随机模拟的方法．本章对学生的最低要求是会用计算器产生随机数进行简单的模拟试验，并统计试验结果．有条件的学校可以让学生学会用一种统计软件，例如Excel软件，多次重复模拟试验，并统计模拟的结果．
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