§ 10 Weingarten 变换 W
W:Tp?Tp,
W(ri)??ijrjWeingarten 变换，
由
dn?nidui???ikrkdui??W(ri)dui??W(ridui)??W(dr).而
II??dn?dr?W(dr)?dr?(W(dr),dr).
可证明：对于任意a,b?Tp, 则有
?W(a),b???a,W(b)?.
我们称W为自共轭。对于复线性空间V，任
意?,??V，有
(k?,?)?k(?,?),(?,l?)?l(?,?). 故
设?是W的特征值，即 W????. 由
(W?,?)?(?,W?)?(??,?)?(?,??).
即
?(?,?)??(?,?),
1
因
??0????.
故 ?为实数。（即W称为自共轭时，?为实数。）
故W有两个实的特征值，设e?e，单位的，是W的两个特征值?,?对应的特征向量，即
We1??1e1,
We2??2e2.1212§ 11
设 p?S,a,b?Tp. a 与b称为互相共轭的，如果(Wa,b)?0。 设a?ar,b?br, 此时
ijij(Wa,b)?(W(airi),bjrj)?aibj(Wikrk,rj)?abWigkj??ijab?0.ijkij
即
La1b1?M(a1b2?a2b1)?N(a2b2)?0.
若a与其自身互共轭时，称a为渐进方向。
?aa?L(a)?2Maa?N(a)?0.
ij121222ij若曲线上一条曲线：u?u(t),v?v(t)上每点切向量都是渐进方向，则称此条曲线为渐进曲
2
线。
dudv此时，切向量为(,)?a,
dtdt
于是有
du2dudvdv2L()?2M?N()?0. dtdtdtdt当 r与r互共轭时，有(W(r),r)?0, 即??0.即 M?0.
121212定理 曲面S的参数曲线网是共轭曲线网充要条件是M?0.
当S的参数曲线网是渐进曲线网，即r,r都是渐进方向时，
0?(Wr,r)???L,0?(Wr,r)???N.
1211112222于是有
定理 曲面S的参数曲线是渐进曲线网充要条件是L=N=0。 § 12 曲面上的曲率
曲面S：r?r(u,u)，
p处一曲线c：r(s)?r?u(s),u(s)?,s为弧长参数。 则 曲线
1212 3
drduiT??ri,dsds iiidTddudriduddu?kN??(ri)??ri()dsdsdsdsdsdsds
?ijkdujrk??ijdujnduid2ui??2ridsdsds2iijijdududukdudu?2ri??ijrk??ijndsdsdsdsds ij2kij?ijdududukdudu?rk??ijrk?n22dsdsds(ds)ijd2ukduduIIk?(2??ij)rk?n.dsdsdsI这里
ijd2ukdudu(2??ijk)rk??为测地曲率向量kNdsdsds在T上的投影。
pIIn?knn为法曲率向量kN在n方向上I的投影。 法曲率
II(W(dr),dr)kn??,kn只与dr的方向有关
I(dr,dr)与大小无关！
定理 若曲面上的两条曲线在某点相切（即
4
在某点有相同的切向量，大小可以不同），则它们在这点的法曲率相同。 证明：
由 k的公式立即可得。
设p?S,e?e.
n12?We1?k1e1??We2?k2e2,ki为
W的特征值。
(We1,e1)k1(e1,e1)??k1,(e1,e1)(e1,e1)(We2,e2)?k2.(e2,e2)12
即 法曲率k,k为W一变换的特征值。 设 T为p?T处任一单位切向量，则 T?cos?e?sin?e.
p12事实上，设
T?ae1?be2?a?T?e1?|T||e1|cos??cos?.b?T?e2?sin?.
(W(T),T)kn(?)??(W(T),T)(T,T)?(cos?k1e1?sin?k2e2,cos?e1?sin?e2)
?cos2?k1?sin2?k2.
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