i12n1???1ri???1r1??1r2,n2?i??2ri?1??2r12??2r2.
1221n1?n2?(?1?2??1?2)r1?r2j?det(?i)r1?r2?Kr1?r2.
另一方面
G把S中区域D映射到球面中区域D'，D上的面积元素为|r?r|,D'上面积元素为|n?n|.则
1212A??D|r1?r2|du1du2,A'??D|n1?n2|du1du2??D|K||r1?r2|du1du2A'??DK|r1?r2|du1du2?K(p')?D|r1?r2|du1du2,
p'?D.故
12|K||r?r|duduA'?12Dlim?lim?|K(p)|. 12D?pD?0A?D|r1?r2|dudu因此，|K(p)|表示在Gauss映射下包含p点的区
域D的象D'的面积A'与D的面积A的比，当D收缩到p的极限值。
§20
Gauss曲率、平均曲率满足
某些性质的曲面
1． 全脐点曲面 曲面S
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如果 ???g,?p?S. 则S称为全脐点曲面。
此时，k?k?const.
此时，kn?k1?k2，曲面上任何方向都为主方向。
??2H??K?0,k,k为两主曲率，
ijij122121则 k1?k2?K,(k1?k2)?H?K?H2.
2以下给出了所有的全脐点曲面。
定理 全脐点曲面必是平面或者球面的一部分。 证明：
S全脐点曲面????g. 而
ijijni?j??irj??(g?li)rj??(g?gli)rj???irj???rilkjlk??igilgjk??i?jk??i,ki.e.?ijljljj(?igli??li??lig? 由
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?nj?ni?2n?ij?i?j?u?u?u?u?(??ri)?(??rj)?(?ri)?(?rj)???jij?u?u?u?ui?????j?ri?i?rj ?u?u?????1?r2?2?r1?u?u?????1?r2?2?r1?0.?u?u因 r?r??r??n 关于i,j对称。
r 不平行于r
ijjikijkij12??????1??2?1?2?0?d??1du?2du?0 ?u?u?u?u???const.若 ??0, 由n???r?niii?0?dn?nidui?0?n为常向量。
12?d(r?n)?dr?n?r?dn?dr?n?(r1du?r2du)?n?0
?r?n?const,为一平面方程。 若 ??0
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ni???ri.?ni??ri?0?d(n??r)?nidu??ridu?(ni??ri)du?0?n??r?const.?n?a??r.vector?a.iii
?|a??r|?1,i.e.|r?a?|?1|?| ，
表示球心为.
?2．Gauss曲率为0的曲面
K?k?k?0.不仿设k?0.取曲率线网(u,v)为参数曲线网。（即r,r均为主方向，此时，r?r.F?M?0,L?kE,N?kG)
121121212a若 取u为弧长参数为参数，即r?rk?0 导致L?kE?0. 于是由
u11u?E?1,
rij??ijkrk??ijn?r11??r??11n??r??r?Ln??r??r.k11k1111211211112112
而 取正交曲线网时，F?0.
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?E?E1212?u?u?11??0,?11??0. 2E2E故 r11?0.
于是 r?l(v),r?ul(v)?a(v)是直纹面，u为该直纹面的母线。 因 n??kr?0.
故沿该直纹面的母线，切平面都相同。（沿u，即 v?const.?0?du?n?0?0.
故 dn?ndn?ndn?ndu?ndv?n?const.从而切平面相同。）
因此，它是可展曲面。
可展的直纹面只能是柱面、锥面和切线面，而柱面、锥面及切线面的K?0.从而得： 定理 曲面S的K?0?曲面为可展曲面，即锥面、柱面或者切线面（平面当然有K?0）。
111112121212Remark：
'r(u,v)?a(u)?va(u)是直纹面，此切线面：
时
'l(u)?a(u).
直纹面：r(u,v)?a(u)?vl(u)，
可展曲面：如果沿着一个直纹面的母线，切平面都相同，就把此种直纹面称为可展曲
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面。
直纹面r?a(u)?vl(u)为可展曲面?(a',l,l')?0. 2． 平均曲率H?0的曲面（极小曲面）。
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