此为Euler公式。
§ 13主方向、主曲率
dkn?2k1cos?(?sin?)?2k2sin?cos? d??2(k2?k1)sin?cos??0,时，k(?)达到极值点。
n当 k?k?0时，sin?cos??0, 则??0或??.
21?2e为k的方故 T//e,或 T//e, e为k的方向，
向。
称主曲率达到最大、最小两个方向：e，e为主方向 ，k，k为主曲率。 若在p?S,k?k, 则
由 k(?)?kcos??ksin??k?k, 知
点p的任何方向的法曲率都相等，此时称p为S的脐点。 此时有
???g.
12112212121222n1212ijij 6
当??0时，p称为平点；当??0时，p称为圆点。
§14 曲率线
c：S上曲线，若在点p?c,c的切线为曲面的主方向，则称c为S的曲率线。
定理 曲线c:r?r(s)为曲面S的曲率线充要条件是存在函数?(s),使得：
dndr???(s). dsds证：c为曲率线，则
drdr W()??(s),?为主曲率。
dsds§15 主曲率及曲率线的计算、 总曲率、平均曲率 设 ?为S的主曲率 W(e)??e,e?ar为特征向量：
ii?W(airi)?ai?ijrj??airi?ai?ijrj??ajrj?(ai?ij??aj)rj?0.ijjr,r?a???a?0. 因12线性无关 i
即
ai?ij??ai?ij?0jji?(?i???i)a?0.7
因e?0(e为特征向量），故a,a不全为零。
12故 |???I|?0, 即 |?I??|?0,??(?ij). 将上式展开得：
?2?tr(?)??det??0.
定义：
K?det?,Gauss曲率（总曲率），
1H?tr(?), 平均曲率。
2则上方程变为
?2?2H??K?0.
设 k,k为两个主曲率，则
12k1?k2?2Hk1?k2?K.?1?(k?k)?H??,12?2?
以下计算K和H的公式：
det(?kj)K?det(?)?det(?i)?det(g?kj)?det(gij)jik?11?12?21?22?g11g12g21g22LMMNLN?M2??.2EFEG?FFG
（因
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?ij??kjgki??ijgil??kjgkigil??kj?kl??lj??j?g?ij?g?ij)lilli
111ij H?tr(?)?tr[(g)(?ij)]?tr(g?1?).
222?Lg?(gij),??(?ij)???M1?Gg??|g|??F?1M??， N??F??. E??F??G1???2E?EG?F??F故
?G1?1H?tr??22?EG?F??F1GL?2FM?EN?.22EG?F?F??L??E??MM????N??
例 1、环面
r(u,v)??(a?rcosu)cosv,(a?rcosu)sinv,rsinu?,0?u?2?,0?v?2?.
解：
r??(?rsinu)cosv,(?rsinu)sinv,rcosu?,r???(a?rcosu)sinv,(a?rcosu)cosv,0?,r??(?rcosu)cosv,(?rcosu)sinv,?rsinu?, r???(?rsinu)sinv,(?rsinu)cosv,0?,r???(a?rcosu)cosv,?(a?rcosu)sinv,0?.uvuuuvvv从而
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E?r2,F?0,G?(a?rcosu)2,L?r,M?0,N?(a?rcosu)cosu.
故
LN?M2cosuK??,a?r,a?rcosu?0. 2EG?Fr(a?rcosu)3?当 0?u?,or?u?2?时，cosu?0,即在环
22?的外侧时，K?0.
3?当 u?,or时，cosu?0,?K?0.
22?3?cosu?0,即环面的内侧时，当 ?u? 时，
22?K?0。
例 求曲面 r(x,y)?(x,y,f(x,y))的Gauss曲率K及平均曲率H。 解：
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