rx?(1,0,fx),ry?(0,1,fy)rxx?(0,0,fxx),rxy?ryx?(0,0,fxy),ryy?(0,0,fyy),n?L?(?fx,?fy,1)1?fx?fy11?fx?fy2222(rx,ry,rxx)?fxy1?fx?fy22fxx1?fx?fy,22,M?(rx,ry,n)?N?fyy1?fx?fy22,22
?fxxfyy?fxy22
K?LN?MEG?F2(1?fx?fy)222
.
H?(1?fx)fyy?2fxfyfxy?(1?fy)fxx(1?fx?fy)2232曲率线的计算：
设c为曲率线，?为它的主曲率，c的切向量dr?dur为主方向，则有(???g)du?0（由
ijiijij(?ij??ij?)dui?0?(?ij??ij?)duigjk?0?(?ik??gik)du?0)i
将上式展开整理得：
11
1212(Ldu?Mdu)??(Edu?Fdu)?0? ?1212?(Mdu?Ndu)??(Fdu?Gdu)?0.因 1,??不全为零，则
Ldu1?Mdu2Mdu?Ndu12Edu1?Fdu2Fdu?Gdu12?0.
即
(LF?ME)(du1)2?(LG?NE)du1du2?(MG?NF)(du2)2?0,此为曲率线方程。
§16 曲率线网
设S上无脐点，则任意p?S有两个独立的主方向，则可以选到参数(u,v),使得两坐标曲线都是曲率线网，即r,r均是主方向。此时，r?r,即F?0. 故
I?E(du)?G(du).
uvuv1222W(ri)?kiri,i?1,2,?,ki为主曲率。
II?(W(dr),dr)?(W(ridui),rjduj)?duiduj(W(ri),rj)?duiduj(kiri,rj)?kigijduiduj?k1E(du1)2?k2G(du2)2?L(du1)2?2Mdu1du2?N(du2)2.?L?k1E,M?0,N?k2G.
所以，我们得到：
12
定理 在不含有脐点的曲面上，参数曲线网为曲率线网（即r,r为主方向，W(r)?kr,r?r)?F?M?0.
uviii12此时
1222?I?E(du)?G(du) ?1222?II?k1E(du)?k2G(du).§17曲面在一点邻近处的形状
p,p'?S,p?p'.pp'?r(u1??u1,u2??u2)?r(u1,u2)
1i?ri?u?rij?ui?uj??21ki?ri?u?(?ijrk??ijn)?ui?uj??2 13
11ij12ij2?(?u??ij?u?u)r1?(?u??ij?u?u)r2221??ij?ui?ujn??211ijr112ijr212?(?u??ij?u?u)E?(?u??ij?u?u)G2|r1|2|r2|11??ij?ui?ujn??211ij12ij12?(?u??ij?u?u)Ee1?(?u??ij?u?u)Ge2221??ij?ui?ujn??.2
去掉?u?u高阶无穷小，
ijpp'?Xe1?Ye2?Zn.
这里
11ijX?(?u??ij?u?u)E，
212ij2Y?(?u??ij?u?u)G，
21Z??ij?ui?uj21??L(?u1)2?2M?u1?u2?N(?u2)2?,?ru?rv,M?0,ru,rv2为曲率线。 11222?(k1E(?u)?k2G(?u))21112?k1E(?u)?k2G(?u2)2. 221 14
去掉X,Y中?u,?u高阶无穷小得
X??uE,Y??uG.
1212则
k12k22Z?X?Y. 22在p点用平行于Z轴的平面Z?c?const.来截
曲面S，则有
kX?kY?2c.
2212当K?kk当K?kk当K?kk1112?0的点称为椭圆点。
2?0的点称为双曲点。 ?0的点称为抛物点。
2§18 高斯映射
?p?S,Tp为切空间，n,|n|?1,为单位法向量。
映射G(p)?p'?S2（单位球面） 是点对应。 G(r(u,v))?n(u,v),|n|?1, 向量的对应。
§19 Gauss曲率的另一表示
由前面我们得到
ni???ijrj, 展开即为
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