计算问题解题原理思维及方法
小学数学中在数的问题有以下三种算术：计数，计算，数论
计数问题有以下方法:加法原理，乘法原理，排列与组合法，捆绑法，插板法，枚举法，排
除法，对应法，树形图法，归纳法，整体法，递推法，容斥原理和几何图形中的计数；
数论问题有以下方法：奇偶数论，平方数论，费尔马定理，中国剩余定理，韩信点兵原理及
其同余数周期应用，整数拆分；
考虑到现在三年级了，我们这2课主要讲解计算问题：
混合运算，数学计算公式原理，换元法概念，凑整法概念，定义新运算，数的整除余数，速算与巧算。 1.四则运算
?四则运算：加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算.(高级运算如平方，次方，数根，微分，积分等不讲) ?运算顺序：只有一级运算时，从左到右计算；有两级运算时，先乘除，后加减。有括号时，先算括号里的；有多层括号时，先算小括号里的。要是有平方，先算平方。在混合运算中，先算括号内的数 ，括号从小到大。然后从高级到低级。 ?表示方法①脱式计算
脱式计算是，即递等式计算，把计算过程完整写出来的运算，也就是脱离竖式的计算。在计算混合运算时，通常是一步计算一个算式(逐步计算，等号不能写在原式上），要写出每一步的过程。一般来说，等号要往前，不与第一行对齐。示例： 1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9] =1+2×5÷5×[16÷8×9] =1+2×1×[2×9] =1+2×18 =1+36 =37
②横式计算 示例：
1+2×(8-3)÷5×[(14-6)÷8×9] =1+2×5÷5×[16÷8×9] =1+2×1×[2×9] =1+2×18 =1+36=37
?运算意义和运算规律
?口算引入：①8＋3×7 ②9×2＋4×3 ③6×（50－46）和6×50-6×46 ④36÷3－5
⑤63÷9×6 ⑥（48＋32）＋5 ⑦（48＋32）×5和5×48+5×32 ⑧（25×4）×5和25×5×4 ⑨60÷4÷5和60÷（5×4）
向孩子提问：以上各式中都含有哪些运算？它们的运算顺序是什么？ 使孩子明确：当只有加减或乘除法时，按从左到右的顺序计算； 当既有乘除法又有加减法，要先算乘法或除法，再算加法或减法； 如果有小括号，先算括号内后算括号外。明确运算法则！！！ ?学习新知：
1.例1：计算74＋100÷5×3向孩子提问：
①这道题包含哪些运算？
②按照以前学习的运算顺序应该先算什么？再算什么？ ③你能按照这道题的运算顺序读题吗？
提示：7 4加10 0除以5所得的商再乘3的积，和是多少？ ④将上题变成74十100× 3÷5和74— 100 × 3 ÷5两题 提问：谁能按照运算顺序读出题来？该先算什么再算什么？为什么？ ⑤先说出下面每道题的运算顺序，再计算。 65－6×4÷2 38+56÷7×3
引导孩子思考：通过演算这几道混合运算式题，你有什么发现？
使学生明确：在一道既有乘除法又有加减法的混合式题里，应先算乘除法，后算
加减法；乘除连在一起，或加减连在一起，要从左往右依次计算。
2.例2：计算（440－280）×（300—260）（加深难度
440×300-440×260－280×300＋280×260,让孩子总结出来） ①孩子自读题目：440减280的差乘300减260的差，积是多少？
②引导孩子思考：这道题含有哪些运算，与前边的习题比较有什么不同？应该怎样计算？
③学生试做。可能出现两种不同解法，板贴出来：
（440－280） ×（300—260） （440－280）×（300－260） =160×（300－260） =160×40 =160×40 =6400
=6400（引入440×300-440×260－280×300＋280×260计算） 让孩子比较评议以上两种解法，哪种解法更简便？ 提问：看到这道题的简便解法你联想到什么吗？
④教师让学生先按照运算顺序用数学用语读题再独立完成。 （59+21）×（96÷8） （220－100）÷（15×2） 提问：通过计算这些道题，你又有什么新的发现吗？
?巩固提高：
①计算下面各题（试着用术语读出下面各题） 700－8×5×4 （275－35）÷（17＋43） 480÷（96÷16＋6） （15×40—360）÷6
注意强调运算顺序和书写格式。要明确：括号里有两级运算，同样先算乘除法， 后做加减法，小括号要照抄下来。
?课堂小结：要完成一道混合运算，它的计算步骤是：
①审题，看清运算符号、数字、有没有小括号，确定先算什么，再算什么。 ②计算。
③检验，包括运算顺序，计算是否正确。
?布置作业 ①14+16×4－50 ②74+（96÷6－8）③72－45+121÷11
④2520÷18×（806－799）（没有学过多位除法的用分解法）
⑩教学目标
①使学生进一步掌握含有二级运算的混合式题的运算顺序，学会计算含有乘除混合以及带有小括号的三步式题。 ②培养学生迁移类推的能力，提高计算能力。
③培养学生的学习兴趣和敢于探索的科学精神，训练学生养成认真审题、仔细验算的良好习惯。
教学重点
使学生掌握混合运算顺序，能熟练地进行计算。
教学难点
帮助学生利用知识的迁移，探索混合运算的运算顺序。
2.小学数学运算法则：
?整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位
进一。（说明引入十进制和二进制区别，以及60进制区别）
?整数减法计算法则：相同数位对齐，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，
和本位上的数合并在一起，再减。
?整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，
用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。（示例1234×4321）
?整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如
果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。（示例1313÷13）
?小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积
的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。（示例0.11×0.12，也可以用人民币的钱数引入）
?除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数
的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。（示例0.1÷5，同样可以引入人民币钱数）
?除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向
右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。（只作简单说明，有兴趣可以深讲）
?同分母分数加减法计算方法: 同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。（示例
1111
＋ 和 － ) 2222?异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
3131
（示例 ＋ 和 － ）
4242?带整数分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起
5335
来。(示例1 ＋2 和2 －1 )
6446⑴分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
335
（示例 ×12和 × ）
446⑵分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数 35
（示例 ÷ ）
463.数学运算定律：
?加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 ?加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
?乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
?乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)
?乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
?减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
4.A速算与技巧：
例1 2×4×5×25×54=(2×5)×(4×25)×54 (利用了交换律和结合律)
=10×100×54=54000
例2 54×125×16×8×625=54×(125×8)×(625×16) (利用了交换律和结合律) =54×1000×10000=540000000
例3 5×64×25×125 （将64分解为2、4、8的连乘积是关键一步）
=5×(2×4×8)×25×125=(5×2)×(4×25)×(8×125)=10×100×1000=1000000 例4 37×48×625=37×(3×16)×625（注意37×3=111）=(37×3)×(16×625) =111×10000=1110000
例5 27×25+13×25，=(27+13)×25（逆用乘法分配律这样做叫提公因数）=40×25=1000 例6 123×23+123+123×76=123×23+123×1+123×76=123×(23×1+76)=123×100 =12300（注意123=123×1;再提公因数123）
例7 81+991×9(把81改写叫分解因数，为9×9是为了下一步提出公因数9) =9×9+991×9=(9+991)×9 =1000×9=9000
例8 111×99=111×(100-1)=111×100-111=11100-111=10989 例9 23×57-48×23+23=23×(57-48+1)=23×10=230
例10 求1+2+3+?+24+25的和. 解：此题是求自然数列前25项的和.
方法1：利用上一讲得出的公式 和=(首项+末项)×项数÷2 1+2+3+?+24+25 =(1+25)×25÷2=26×25÷2=325