例: 15×17=255(其中15+7=22，5×7=35,划线上2和3相加)
1.3 十位相同，个位互补，即A=C ,B+D=10 S=A×(A+1)×10+B×D
方法：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；个位数相乘，得数为后积。 例：56×54=3024（其中（5+1）×5=30，6×4=24）
1.4十位相同，个位互补，即A=C ,B+D≠10 S=A×(A+1)×10+B×D
方法1：十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积；尾乘尾，得数为后积；尾尾相加，看比10大几或小几，大几就加几个头乘10，反之小几，就是小几就减几个头乘10.
例：67×64=4288（其中（6+1）×6=42，4×7=28，7+4=11，11-10=1，1×6=6，6×10=60，4228+60=4288）
方法2：头头相乘，得数为前积；两尾数和与头相乘，得数为中积，满十前一；两尾数相乘，得数为后积。
例： 67×64=4288（其中6×6=36,(7+4)×6=66,7×4=28）
二：后数相同的
2.1个位是1，十位互补，即B=D=1,A+C=10,S=10A×10C+101 方法：十位与十位相乘，得数为前积；加上101，划线1要前进1. 例：81×21=1701（其中8×2=16,101,划线1要前进1）
2.2个位是1，十位不互补，即B=D=1,A+C≠10,S=10A×10C+10A+10C+1 方法：十位数乘积，加上十位数之和，得数是前积；个位为1.
也可以这样说：头头相乘是前积；头头相加是中积，满十前一；个位数是1。 例：71×91=6461（其中7×9=63，7+9=16，划线1进上去，个位数是1） 2.3 个位是5，十位互补，即B=D=5,A+C=10,S=10A×10C+25 方法：十位数乘积，加上个位数，得数为前积，25为后积
例:35×75=2625
2.4个位是5，十位不互补，即B=D=5,A+C≠10,S=10A×10C+525
方法：头头相乘，得数为前积；两十位数和与个位相乘，得数为中积，满十进一；
两尾数相乘，得数为后积。
例：75×95=7125（其中7×9=63；(7+9)×5=80,划线8上进；5×5=25）
2
2.5个位相同，十位互补，即B=D,A+C＝10,S=10A×10C+100B+B
方法：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积. 例：86×26=2236 （其中8×2+6=22，6×6=36）
2
2.6个位相同，十位不互补，即B=D,A+C≠10,S=10A×10C+100B+100D+B
方法1：头头相乘，加上尾数，得数是前积；尾尾相乘，得数是后积；再看看
头头相加比10大几或小几，大几就加上几个尾乘10，小几反之亦然。
方法2：头乘头是前积；两头之和乘尾乘10，与尾乘尾（尾平方）之和，得数
是后积。
例：73×43=3139（其中7×4+3=31；3×3=9，7+4-10=1，1×3×10=30，30+9=39，
划线部分组成了后积）
另解释:70×40=2800 (7+4)×3×10+3×3=339,2800+339=3139 三：特殊类型：
3.1一个数头尾相同，另一个数头尾互补
方法：互补的那个数头加1之和与另一个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）
乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积,没有十位用0补。
例：66×37=2442（其中（3+1）×6=24;6×7=42）
例：11×37=407（其中（3+1）×1=4;1×7=7,没有十位用0补） 3.2一个数头尾相同，另一个数头尾不互补
方法：非互补的那个数头加1之和与另一个数（头尾相同的数）的头（尾也可以）
乘积，得数为前积；两尾乘积，得数为后积；没有十位用0补，再看看那个非互补那个数头尾相加之和比10大几或小几，大几就加上几个相同数（头尾相同的数）的数字乘10，反之亦然。
例：38×44=1632+40=1672（其中（3+1）×4=16；8×4=32；（3+8-10）×4
×10=40;1632+40=1672）
3.3一个数头尾不相同，另一个数头尾互补
方法：头尾互补数的头数加1之和与头尾不相同数的头相乘，得数为前积；
两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补；再看看头尾不同的数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘10，反之亦然。
例:46×75=3530-80=3450(其中(4+1)×7=35;5×6=30;5-7=-2,意思是尾比
头少了2，2×4×10=80，多了几加上，少了几减去，3530-80=3450)
3.4 一个数头比尾少1，另一个数头尾之和是9
方法：头比尾少1数的头与凑9数的尾数的补数相乘，得数为前积；凑9
数的头数加1的和与头比尾小1的数的尾数的补数之积，得数为后积，没有十位用0补。
例：67×36=2412（其中6×（10-6）=24，10-6就是36尾数6的补数；（3+1）
×（10-7）=12，3+1是36的头数加1，10-7就是67的尾数7的补数。）
3.5 两个数头头不同，尾尾互补（要先确定乘数与被乘数）
方法：被乘数的头加1的和与乘数的头之积，得数是前积；尾与尾之积，
得数为后积；再看被乘数头比乘数的大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘10，反之亦然。
例：74×56=4024+（7-5）×6×10=4144（其中（7+1）×5=40；4×6=24） 3.6 两数头头差1，尾尾互补
方法：大数的头和大数头之积与1的差，得数为前积；大数的尾和大数的
尾之积，它们积的整百补数就是后积。
例：24×36=864（其中3×3-1=8；100-6×6=64）
3.7 近100的两位数算法（确定乘数与被乘数）
方法：被乘数与乘数的整百补数之差，得数为前积；两数整百补数之积，得
数为后积，没有满十补0，满100进1）
例：93×91=8463（其中93-（100-91）=84；（100-93）×（100-91）=63） 3.8 头互补，尾不同（确定乘数与被乘数）
方法：头头之积与乘数尾之和，得数为前积；尾尾之积，得数为后积，没有
满10补0，再看看被乘数尾比乘数的尾大几或小几，小几就减去几个乘数头乘10，反之亦然。
例：22×81=1702+80=1782 4.定义新运算
基本概念:定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后
按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 5.数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，
a
那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a（或 ）。
b
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7
整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除:①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能
被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 6.余数及其应用
基本概念:对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q??r，且0 除以B的余数，Q叫做A除以B的不完全商。< q =“”> 0＜R 余数的性质:①余数小于除数。 ②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。 ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余 ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。 7.19.余数、同余与周期 一、同余的定义:①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。 二、同余的性质:①自身性：a≡a(mod m)； ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)； ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)； ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则a≡b(mod m)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)； 三、关于乘方的预备知识:①若A=a×b，则M=M A a×b n n =（M） ②若B=c+d则M=M=M×M abBc+dcd 四、被3、9、11除后的余数特征： ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 五、费尔马小定理:如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则a≡1(mod p)。中国剩余定理，费尔马小定理及韩信点兵原理属于数论概念，这里不进行详细探讨！ p-1