第七章 空间解析几何与向量代数
在平面解析中. 通过坐标法把平面上的点与一对有次序地数对应起来，就可以把平面上的图形和方程对应起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内容），也可以用几何方法解决代数问题.
本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、一些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题. 这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的. 正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.
第一节 向量及其线性运算
本节主要内容
1 向量的概念 2 向量的线性运算
3空间直角坐标系
4利用坐标进行线形运算
5向量的模、方向角、投影
讲解提纲：
一、向量的概念.
既有大小，又有方向。例如位移、速度、加速度等等。
二、向量的线性运算：向量的加减法, 向量与数的乘法
????定理1 设向量a?0, 那末向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数?, 使??b??a.
定理1是建立数轴的理论依据. 我们知道，确定一条数轴, 需要给定一个点、一个方向及单位长度. 由于一个单位向量既确定了方向, 又确定了单位长度, 因此, 只需给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴.
三、空间直角坐标系
四、利用坐标进行线形运算
?????a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?????a?b?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k
1
?????a?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k
五、向量的模、方向角、投影
性质1 Prjua?|a|cos? （?为向量a与u轴的夹角）;
????性质2 Prju(a?b)?Prjua?Prjub;
???性质3 Prju(?a)??Prjua （?为实数）.
??例题选讲：
向量的线性运算
?????1b?3a?例1 化简 3a?2b?5??b?5?2??. ?????????????例2 在平行四边形ABCD中, 设AB?a,AD?b,试用a和b表示向量
??????????????????和MA,MB,MCMD, 这里M是平行四边形对角线的交点.
解：由对角线互相平分，所以
??????????? (a?b)?AC?2AM ,???????即?(a?b)?2MA,
????1??于是MA??(a?b)，
2
?????1???????1??????1??MC?(a?b),MD?(b?a),MB?(a?b)
222例3 在x轴上取定一点O作为坐标原点. 设A, B是x轴上坐标依次为x1,x2 ??????的两个点, i是与x轴同方向的单位向量, 证明 AB?(x2?x1)i.
空间两点间的距离
例4 已知点A(2,1,4),B(4,3,10)，写出以线段AB为直径的球面方程。 解：记线段中点的坐标为(x0,y0,z0)，则
x0?3,y0?2,z0?7
半径r?1?1?32?11
222得所求的球面方程为(x?3)?(y?2)?(z?7)?11
2
向量的代数运算
例5设m?i?j?k, n?i?2j?k, p??2i?j?2k, 用单位向量em,en,ep.表示向量i,j,k.
解：易得
?1??????1?5?1?1?j?(m?n),k?(m?n?p),i?m?n?p
3412124??????????????????于是得
?53?6?3??3?6??3?6?3?i?em?en?ep,j?em?en,k?em?en?ep
1212433444例6已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数? (???1),试在直线AB上求一点?????????M(x,y,z)，使 AM??MB.
解：由于OM?OA??(OB?OM) 从而OM?11??????????(OA??OB)
?OM?(x1??x21??,y1??y21??,z1??z21??)
向量的模、方向角、投影
例7已知两点A(4,0,5)和B(7,1,3)，求与向量AB平行的单位向量e. 解：因为
???????????? AB?OB?OA?(3,1,? 2)?????? 所以AB?14 ? 于是e?114(3,1,2).
???????4)和M2(1,3,1), 计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.
例8已知两点M1(4,4, 向量在轴上的投影
????例9 设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为OA, 且|OA|?a,求OA在OM方向上的
投影Pr?????OA. jOM????解：cos?MOA?OAOM?13 3
于是Pr
课堂练习
?????OA.=|jOM????????a OA|cos?MOA=3????????????1.已知平行四边形ABCD的对角线AC?a,BD?b, 试用a,b表示平行四边形四边
上对应的向量.
2.在?ABC中, D是BC上的一点, 若AD?12(AB?AC), 证明D是BC的中点.
3试证明以三点A(4,1,9),B(10,?1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形.
????????????4设有向量P1P2, 已知|P1P2|?2,它与x轴和y轴的夹角分别为和, 如果P1的坐标
34为(1, 0, 3), 求P2的坐标.
第二节 数量积 向量积 混合积*
本节主要内容
1两向量的数量积 2两向量的向量积
讲解提纲：
一、 两向量的数量积：
定义1设有向量a、b，它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积
??（或称为内积、点积），记为a?b??????，即
????a?b?|a||b|cos?.
根据数量积的定义，可以推得：
??????（1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;
性质：
（1） a?a?|a|;
??????a（2） 设、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.
???2数量积的运算规律：
????（1） 交换律 a?b?b?a;
4
（2）分配律 （3）结合律
???????(a?b)?c?a?c?b?c; ???????(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）.
二、两向量的向量积
???定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：
??????（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图
7-3-5）；
??????（2）c的模 |c|?|a||b|sin?，(其中?为a与b的夹角)， ???则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为
???c?a?b.
根据向量积的定义，即可推得
???（1）a?a?0；
??????（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 a?b?0.
向量积满足下列运算规律: （1）a?b??b?a;
???????（2）分配律 (a?b)?c?a?c?b?c;
??????（3）结合律 ?(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）.
????
例题选讲：
两向量的数量积
??例1 已知a?{1,1,?4},b?{1,?2,2}, 求
??????(1) a?b; (2) a与b的夹角?; (3) a与b上的投影.
例2 试用向量方法证明三角形的余弦定理.
解：设在?ABC中，?BCA??BC?a,CA?b,AB?c,
?????????????????? 记CB?a,CA?b,AB?c,则有c?a?b
从而可得c?a?b?2abcos?。
222 5