所求投影直线的方程??x?3y?2z?1?0?x?y?z?1?0
例4 求抛物面y2?z2?x与平面x?2y?z?0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 例5求旋转抛物面z?x2?y2(0?z?4)在三坐标面上的投影. 解：在三坐标面上的投影为x2?y2?4,x2?z?4,y2?z?4.
课堂练习
1. 设一个立体由上半球面z?xOy面上的投影.
4?x?y和锥面z?223(x?y)所围成, 求它在
22
2.求椭圆抛物面2y2?x2?z与抛物柱面2?x2?z的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.
?z?a2?x2?y2?223 方程组?a?a表示怎样的曲线? ?2??x???y?2?4??
第五节 平面及其方程
平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.
本节主要内容
1 平面的点法式方程
2平面的一般方程 3两平面的夹角 4 点到平面的距离
讲解提纲：
一、 平面的点法式方程：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0.
二、平面的一般方程：
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Ax?By?Cz?D?0,
平面的截距式方程： 三、两平面的夹角：
xa?yb?zc?1.
设有两平面?1和?2：
??1:A1x?B1y?C1z?D1?0, n1?{A1,B1,C1}
则两平面的夹角 cos??|A1A2?B1B2?C1C2|A222222
1?B1?C1?A2?B2?C2 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出如下性质：
（1） ?1??2 的充要条件是A1A2?B1B2?C1C2?0； （2）?1//?A11C12的充要条件是
A?B
2B?2C.2（3）?1?B1?C11与?2重合的充要条件是
AA?D12B2C2D.
2 四、点到平面的距离：d?|Ax0?By0?Cz0?D|A2?B2?C2.
例题选讲：
平面的点法式方程
例1 求过点M(1,2,?1)且与0??2x?3y?z?5??3x?y?2z?4?0垂直的平面方程.
解:设所求平面方程为：A(x?1)?B(y?2)?C(z?1)?0. n??(A,B,C,)直线的方向向量s?为
?i?j?k ?s?2?31??5i??7j??1k 1 31?2因为平面与已知直线垂直?//?s，取n??? 所以ns
即所求的平面方程为5(x?1)?7(y?2)?11(z?1)?0.
例2 求过点A(1,1,?1),B(?2,?2,2)和C(1,?1,2)的平面方程.
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?x?2?3t?例3 求通过(1,2,?1)点且通过直线L:?y?2?t的平面的方程.
?z?1?2t? 解：设所求平面方程为：A(x?1)?B(y?2)?C(z?1?)直线的方向向量
???s=(3,1,2)。因为n?s于是有3A?B?2C?0
由题意有A?2C?0
联立解之得A??2C,B?4C,
故所求平面方程为：?2x?4y?z?5?0。
平面的一般方程
例4求通过x轴和点(?4,3,1)的平面方程. 解：设该平面方程为By?Cz?0
又因为该平面过点(4,?3,?1)，所以有?3B?C?0 整理可得所求平面方程为y?3z?0
例5设平面过原点及点(6,?3,2)，且与平面4x?y?2z?8垂直，求此平面方程. 解：所求平面的法向量可取为
???ijk??*?? n?s?n?6?32??4i4?12?? k?4j?6 故所求平面方程为2x?2y?3z?0
平面的截距式方程
例6 求平行于平面6x?y?6z?5?0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
两平面的夹角
例7 求两平面的夹角:
?1:x?y?2z?6?0, ?2:2x?y?z?5?0; 解：由公式
13
cos??|2?1?2|1?1?2?2222?1?1222?12
例8求平面2x?2y?z?5?0与各坐标面夹角的余弦 . 解：可得与各坐标面夹角的余弦为,122,. 333
点到平面的距离
例9 求两平行平面?1：Ax?By?Cz?D1?0和?2：Ax?By?Cz?D2?0之间的距离d.
解：取平面?1：Ax?By?Cz?D1?0上一点P(x0,y0,z0) 则d?
课堂练习 1.求通过直线
x?1?1?y?12?z?11x?21y?2?1z?32Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222?D2?D1A?B?C222
和??的平面的方程.
2.求通过点P(2,?1,?1),Q(1,2,3)且垂直于平面
2x?3y?5z?6?0
的平面方程.
3求经过两点M1(3,?2,9)和M2(?6,0,?4)且与平面2x?y?4z?8?0垂直的平面的方程.
4 求平面II, 使其满足: (1) 过z轴;
(2) II与平面2x?y?5z?0夹角为
?3.
第六节 空间直线及其方程
本节主要内容
1 空间直线的一般方程
2 空间直线的对称式方程与参数方程
3 两直线的夹角
4 直线与平面的夹角
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讲解提纲：
?A1x?B1y?C1z?D1?0, 一、空间直线的一般方程：?
Ax?By?Cz?D?0.222?2 二、空间直线的对称式方程与参数方程：
x?x0m?y?y0n?z?z0p
?x?x0?mt? ?y?y0?nt
?z?z?pt0? 三、两直线的夹角
??设s1?{m1,n1,p1}，s2?{m2,n2,p2}分别是直线L1，L2的方向向量，则L1与L2的
????????夹角?应是(s1,s2)和(?s1,s2)??? (s1,s2)两者中的锐角. 因此cos??|cos(s1,s2)|. 仿
照对于平面夹角的讨论可以得到下列结果.
??|s1?s2||m1m2?n1n2?p1p2|（1） cos???； ??222222|s1|?|s2|m1?n1?p1?m2?n2?p2（2）L1?L2的充要条件是m1m2?n1n2?p1p2?0； （3）L1//L2的充要条件是
四、直线与平面的夹角
（1）设直线的方向向量为s?{m,n,p}，平面的法向量n?{A,B,C},直线与平
面的夹角为?，则 sin??|cos(s,n)|???m1m2?n1n2?p1p2.
???|Am?Bn?Cp|A?B?C222?m?n?p222；
（2）L??的充要条件是
Am?Bn?Cp;
（3）L//?的充要条件是Am?Bn?Cp?0.
例题选讲：
空间直线的对称式方程与参数方程
例1 求过点?1,2,1?，垂直于直线L1:直线的方程.
x?13?y2?z?11又与直线L2:x2?y??z相交的
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