在家学习网 http://www.zaijiaxue.com/ 和点B的坐标．
10. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD，O为原点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，E在BA上，且BE∶EA＝1∶3，F在BD上，且BF∶FD＝1∶4，用a，b，c，d分别表示OE、OF、EF、
EC，并判断E、F、C三点是否共线．
11. △ABC中，|BC|?2a，b是方程x?23x?2?0的两根，且2cos（A＋B）＝1．求： a，|AC|?b，
（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）S?ABC 12. 已知二次函数与
2对任意实数x都有f(2?x)?f(2?x)，问当f(1?2x)f(x)的二次项系数为负，
f(1?2x?x2)满足什么条件时才有-2＜x＜0？
题型示例答案 一、 选择题
1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.Ａ15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、 填空题 1. 902.
0
123. 1023 4. 1 5.
26. ①③④7. ①②③④⑤8. 4 2三、解答题
22xy1. （1）椭圆C的方程为??1，焦点F1(-1,0)、F2(1,0)； 43124y2b2（2）(x?)?（3）定值为 kPM??1 ；kPN?2
23a2. （1）证明 函数定义域为{x|x?0且x?R},?f(?x)?(?x)?(?x)513?13??x?x513?13??f(x)
∴
f(x)为奇函数.
111111??11313 设o?x1?x2,则f(x1)?f(x2)?(x13?x13)?(x2?x23)?(x13?x2)555(1?1xx131132)?0,?f(x)在(0,??)上是增函数，又
f(x)是奇函数.
∴f(x)在（－∞，0）上也是增函数.
（2）解 f(4)?5f(2)g(2)?0,f(9)?5f(3)g(3)?0,猜想：f(x2)?5f(x)g(x)?0
x?x?f(x)?5f(x)g(x)?5223?23x?x?5?513?13x?x?513?13??11?(x3?x3)?(x3?x3)?0 5522223. 证：（1）?x1?0,x2?0,x1?x2?1,?1?x1?0,1?x2?0,1?x1?x2?0
要证1?x1?1?x2?1?x1?x2?1，
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只要让(1?x1?1?x2)2?(1?x1?x2?1)2 即证：2?x1?x2?21?x1?x2?x1x2?2?x1?x2?21?x1?x2
只要证：x1x2?0 ?x1x2?0成立，故原不等式也成立。
解（2）从（1）的证明过程可知当x1?0,x2?0,1?x1?1?x2?1?x1?x2?1成立 ，等号当x1?0或x2?0时取到．
?1?x1?1?x2?1?x3?1?x4?
1?x1?x2?1?1?x3?1?x4?1?x1?x2?x3?2?1?x4?1?x1?x2?x3?x4?3?1?a?3
等号当x1?x2?x3?0,x4?a取到。
4. 解：（1）因为(an?1?an)g(an)?f(an)?0,g(an)?4(an?1)
f(an)?(an?1)2 所以(an?1)(3an?4an?1?1)?0，又a1?2，所以an?1?3an?1
44313an??1(an?1)344（2）因为an?1?1?4??
an?1an?1an?14所以，
?an?1?是以a1?1?1为首项，公比为
3的等比数列． 4（3）由（2）可知，a?1?(3)n?1， 所以an?(3)n?1?1，
n4432n?1?3n?4n?13n?13n?1从而bn??3?()[()?1]．
42n?24433133y?()x为减函数，所以bn中最大项为b1＝0． 又bn＝3[()n?1?]2???，
442443n?113n?11而此时n不为整数才能有()?，所以只须考虑()接近于．
42423n?19113n?12715当n=3时，()＝与相差；当n=4时，()＝与相差，
41621646426415189而＞，所以bn中项b3??． 6416256因
5.解（1）［法一］由A（－2,1），B（－4，－1）得直线AB即直线MN方程为y=x+3，代入椭圆C1的方程并整理，得(a+b)x+6ax+9a－ab＝0 (*)
2
2
2
2
2
22
6a2 设M（x1,y1），N(x2,y2)，则 x1＋x2＝－2
a?b26a2??4得a2=2b2, ∵A（－2,1）是弦MN的中点，∴x1+x2=-4，故由?22a?bhttp://www.zaijiaxue.com/forum-46-1.html 高中数学交流论坛
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c2?. a2a2 ∵A为C2的焦点，且相应准线l方程为x??，即x??2a，过B作BB0⊥l于B0，则由双曲
c又b=a－c，∴a=
2
2
2
2c，从而椭圆离心率e1=
222线定义知，e2=|BA|?(?2?4)?(1?1)?22?.
|BB0||?4?(?2a)||2a?4||a?22|(i)?x12y12??1? 法二：设M（x1，y1）,N（x2,y2）,则x1+x2＝4，y1+y2＝2,且?a2b2 ，
?22?x2?y2?1(ii)??a2b2（i）－（ii）得
(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0，
∴kMNy1?y22b21?1???2?kAB???1，以下同法一。 x1?x22?4a?22?2，∴a?32或2。 ，e1e2?1得e2?2，即
2|a?22|2
（2）由e1x2y2??1； 当a?32时，b=9，椭圆方程为189当a?2时，b2=1，代入（*）知Δ＜0，不合题意，舍去；
（另法：此时A（－2,1）在椭圆外，不可能为弦MN中点，舍去）
x2y2??1。 ∴椭圆C1方程只能为189以下法一：将a=18,b=9，代入（*）得x+4x=0，∴x1+x2＝－4，x1x2＝0，
2 ∴|MN|＝(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?kAB)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?1)[(?4)2?0]?42，
2
2
2
又|AB|＝(?2?4)2?(1?1)2?22 ∴|MB|＝|MA|＋|AB|＝
1|MN|+|AB|＝22?22?42. 2以下法二：具体求出M、N点的坐标。
x2y2??1上，即B与N重合，从而|MB|＝|MN|，故转化为以下法三：先验证点B（－4，－1）在椭圆189求弦长|MN|即可。
6. 解：（1）f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2xcosπππ?cos2xsin)?1?2sin(2x?) 444 所以函数
f(x)的最小正周期为π，最大值为1?2．
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在家学习网 http://www.zaijiaxue.com/ （2）由（1）知
x y 故函数
?3π 81 ?π 8π 81 3π8 5π81 1?2 ππ，]上的图像是 221?2 y?f(x)在区间[?7. 解：（1）设P(x0,y0)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，又
A(?a,0)，B(a,0)，
?S?ACD?S?PCD，?C为AP的中点，即x1?2x0?a22，
y1?y02，
xy(x0?a)2y0代入椭圆方程得： ①； 又0?0?1 ② ??4a2b2a2b22①+②得(x0?a)?x0?5，即x0222a，代入（2），并注意y0?0，得y0?3b． ?2a(x0??a舍去）
?P(2a,3b)，从而kPD?kPB?y03b． ?x0?aa?直线PD方程为y??x1?3b， (x?a)，代入椭圆方程得：2x2?3ax?a2?0，?x2?a（x?a舍去）a2x0?aa，?x?122?x2，即CD⊥x轴，?直线CD倾角为90°．
2（2）当CD过椭圆右焦点时，有a?c，b?在双曲线中，半焦距c??a2?c2?3c， ?a，
2，
a2?b2a，半实轴a?2222?双曲线离心率e?c??a?b?4c?3c?7a?2c此时，CD恰好过椭圆右焦点．
8. （1）如图，在平面BA1内，过B1作B1D⊥AB于D， ∵ 侧面BA1⊥平面ABC， ∴
B1D⊥平面ABC，?B1BA是BB1与平面ABC所成的角，∴ ?B1BA＝60°．
ABB1A1是菱形，
∴ △
∵ 四边形
ABB1为正三角形，
∴ D是AB的中点，即B1在平面ABC上的射影为AB的中点． （2）连结CD，∵ △ABC为正三角形， 又∵ 平面
A1B⊥平面ABC，平面A1B?平面ABC＝AB，
A1B，在平面A1B内，过D作DE⊥AB1于E，连结CE，则CE⊥AB1，
∴ CD⊥平面
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∴ ∠CED为二面角C-AB1-B的平面角．在Rt△CED中，CD?2sin60则BO???3，连结BA1于O，
3，DE?1BO?3，
22 ∴ tan?CED? （3）答：B1C ∴ CD⊥平面 ∴
CD?2． ∴ 所求二面角C-AB1-B的大小为arctan2． DE?C1A，连结BC1， ∵ BB1CC1是菱形 ∴ BC1?B1C
∴
A1B，B1D?AB，
∴
B1C⊥AB，
B1C⊥平面ABC1， B1C⊥C1A．
y)，AB?(x?5，y?2)
∵
9. 设点B的坐标为（x，y），则OB?(x， ∴
OB?AB
x(x?5)?y?(y?2)?0?x2?y2?5x?2y?0
①
②
又∵
|OB|?|AB|
∴
x2?y2?(x?5)2?(y?2)2?10x?4y?29
37??x?x??12 或??22 解①②得???3?y?7?y??21??22??337?773）或（，）AB?(?，?)或AB?(?，) 2222222111?b?ab?d10. 解：由BE?EA，BF?FD，可直接求得 ， 3b?a4b?d．34OE??OF??341145 ∴ 点B的坐标为（
，?721?31?4 ∴ EF?OF?OE?4b?1d?3b?1a?1b?1d?1a
55442054 EC?OC?OE?c?3b?1a?1(4c?3b?a)．
444 由平行四边形性质，知d?a?c?b．
420即d?a?c?b
所以EF?1b?1(a?c?b)?1a?1(4c?3b?a)
205 ∴
EC?5EF，从而E、F、C三点共线．
1，C?120° 211. 解：（1）cosC?cos[π?(A?B)]??cos(A?B)?? （2）∵ a，b是x2?22x?2?0的两个根， ∴
a?b?23，ab?2
12 ∴ |AB|2?|AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|cosC?b2?a2?2ab(?) ?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 ∴ |AB|?10 http://www.zaijiaxue.com/forum-46-1.html 高中数学交流论坛
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（3）S?ABC?1133 absinC??2??222212. 解:由已知y??a(x?2)2?h，(a调．
?0)．
∴
f(x)在（-∞，2]上单增，在（2，＋∞）上单
又∵ 1?2x2?1，1?2x?x2??(x?1)2?2?2． ∴ 需讨论1?2x2与1?2x?x2的大小． 由1?2x?x2?(1?2x2)?x(x?2)知 当x(x?2)?0，即?2? 故
x?0时，1?2x?x2?1?2x2．
f(1?2x?x2)?f(1?2x2)时，应有?2?x?0
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