概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律
一、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f?x,y??A?x2?y?12?2 .
求：（1）系数A；（2）数学期望E(X)及E(Y)，方差D(X)及D(Y)，协方差cov(X,Y)． 解: (1) 由??????????f(x,y)dxdy?1. 有
A2???x?????????y?12?2dxdy?A?2?0d???r0??r2?1?2dr??A?1
解得, A?1?.
(2) E(X)???????????xf(x,y)dxdy???1????dy???x???x2?y?12?2dx?0.
由对称性, 知 E(Y)?0. D(X)?E[(X?EX)]?EX22???????0??????xf(x,y)dxdy?221??????dy???x222???x12?y?1???dx
?1??2?0d????r320?r2?1?dr?2?r(1?r)?r?r??2?1?2dr?[ln(1?r)?21?r]20???
同理, 有 D(Y)???.
cov(X,Y)?E[(X?Ex)(Y?EY)]?E(XY) ????????????xyf(x,y)dxdy
x2??????????xyf(x,y)dxdy???1????ydy??x???y?12?2dx?0.
二、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?1,y?x,0?x?1;f(x,y)??
?0,其它．求(1) cov(X,Y)；(2) X与Y是否独立，是否相关，为什么？
解: (1) 因为 EX?EY???????????xf(x,y)dxdy??xdx01?xx?xdy??102xdx?223
??????????yf(x,y)dxdy??dx?ydy?0
0?x1E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx01?x?xydy?0
23????所以有
cov(X,Y)?E[(X?EX)(Y?EY)]?E[(X?)Y]???????xyf(x,y)dxdy
??10xdx?x?xydy?0．
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 (2) 当x?(0,1)时,有 fX(x)??????f(x,y)dy??x?xdy?2x; 当x?(0,1)时, 有fX(x)?0.即
x?(0,1)x?(0,1)?2xfX(x)???0
同理有
?1dx??yfY(y)??1??dx??yx?(0,1)?1?y??x?(0,1)?1?yx?(0,1)x?(0,1)
因为 fX(x)fY(y)?f(x,y), 所以X与Y不是独立的．又因为cov(X,Y)?0, 所以X与Y是不相关的．
三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望E(X)的差的绝对值大于三倍标准差
?(X)的概率． 解：P(??E??3D?)?D?(3D?)2?19．
四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A
在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A的次数”，则?~B(10000,0.5)且有
E??np?10000?0.5?5000 D??npq?10000?0.5?(1?0.5)?2500
于是有
P(mn?p?0.01)?P(m?np?0.01p)?1?npq(0.01p)2?1?pq(0.01)n2
?1?pq?1?0.25?0.75
五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少
个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则ξ~B(n,0.1)，现要求n.
Eξ?0.1n Dξ?0.09n
要使得P(ξ?10)?0.9，即P(10?ξ?n)?0.9，因为P(10?ξ?n)?0.9，所以
0.3n10?0.1n?P(??3n)?Φ0,1(3n)?Φ0,1()
0.3n0.3n0.3n0.1n?10Φ0,1(3n)?Φ0,1()?1 （德莫威尔—Laplace定理）
0.3n0.1n?10因为n?10，所以3n?5，从而有Φ0,1(3n)?1，故Φ0,1()?0.9．
0.3n0.1n?10查表有Φ0,1(1.28)?0.8997，故有?1.28，解得n?146.
0.3n答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9． 13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
P(10?EξDξDξ10?0.1n?ξ?Eξ?n?EξDξξ?0.1n)?P(10?0.1n0.3n?ξ?0.1n0.3n?n?0.1n)
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
一、设随机变量X服从正态分布N(1,22)，求（1）P(?1.6?X?5.8)；（2）P(X?4.56)． 解：(1) P(?1.6?X?5.8)?P(?2.6?X?1?4.8)?P(?1.3?X?12?2.4)
?Φ0,1(2.4)?Φ0,1(?1.3)?Φ0,1(2.4)?[1?Φ0,1(1.3)]?0.9918?1?0.9032?0.8950
(2) P(X?4.56)?1?P(X?4.56)?1?P(?2.78?X?12?1.78)
?1?[Φ0,1(1.78)?Φ0,1(?2.78)]?1?Φ0,1(1.78)?1?Φ0,1(2.78)]
2?0.9625?0.9973?0.0402.
二、已知某种机械零件的直径X（mm）服从正态分布N(100,0.62)．规定直径在100?1.2（mm）
之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p表示这种机械零件的不合格品率，则p?P(X?100?1.2)?1?P(X?100?1.2)．
而P(X?100?1.2)?P(?2)
0.60.60.60.6 ??(2)??(?2)??(2)?[1??(2)]?2?(2)?1
??)?P(?2??1.2X?1001.2X?100 ?2?0.9772?1?0.9544 故p?1?0.9544?0.0456．
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X(m)具有概率密度
f(x)?1e?(x?20)32002402?求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
D?{第一次ξ?30}?{第二次ξ?30}?{第三次ξ?30}
2
因为ξ~N(20,40)，所以由事件的相互独立性，有
P(D)?(P{ξ?30})3?(P{ξ??30?ξ?30})333?[Φ0,1(?1.25)?1?Φ0,1(0.25)]
3 ?(2?0.5987?0.8944)?0.5069 于是有
P{三次测量中?至少有一次绝对值?0.13025
?30米}?1?P(D)?1?0.13025?0.86975．
2X四、设随机变量X~N(?,?)，求随机变量函数Y?e的概率密度（所得的概率分布称为对数正态
分布）．
解：由题设，知X的概率密度为
fX(x)?12???(x??)2?22e(???x???)
从而可得随机变量Y的分布函数为
FY(y)?P(Y?y)?P(eX?y)．
当y?0时，有FY(y)?0；此时亦有FY?(y)?0． 当y?0时，有
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
FY(y)?P(X?lny)?12???lny?(x??)2?22??edx．
此时亦有FY?(y)?12??y?(lny??)2?22e．
从而可得随机变量Y的概率密度为
?0,2?(lny??)?fY(y)??12e2?,??2??yy?0;y?0.
五、设随机变量X与Y独立，X~N(? (1) 随机变量函数Z (2) 随机变量函数Z121,?1)，Y~N(?22,?2)，求：
2?aX?bY的数学期望与方差，其中a及b为常数； ?XY的数学期望与方差．
1解：由题设，有E(X)??,D(X)??1；E(Y)??222,D(Y)??2．从而有
222222(1)E(Z1)?E(aX?bY)?E(aX)?E(bY)?aE(X)?bE(Y)?a?1?b?2； D(Z1)?D(aX?bY)?D(aX)?D(bY)?aD(X)?bD(Y)?a?1?b?2． (2)E(Z2)?E(XY)?E(X)E(Y)??1?2；
D(Z2)?D(XY)?E(XY)?E(XY)?E(X)E(Y)?E(X)E(Y) ?[D(X)?E2(X)][D(Y)?E2(Y)]?E2(X)E2(Y) ?D(X)D(Y)?D(X)E2(Y)?D(Y)E2(X)
??12?22??12?22??22?12．
1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理
一、设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X)?E(Y)?0，D(X)?16，D(Y)?25，
并且cov(X,Y)?12，求(X,Y)的联合概率密度． 解：已知?x??y?0，?x2222222?16?4，?1?r2y?25?5，r?(X,Y)?cov(X,Y)?x??35．从而
y321642?1?()?，1?r?．
5255 进一步按公式f(x,y)?2??x?1y?212(1?r)2[(x??x)2e?2x?2r(x??x)(y??y)?x??(y??y)2y?2y]，可得(X,Y)的联
1?r合概率密度为
f(x,y)?132?e?25(x3xyy(??)3216502522．
2二、设随机变量X与Y独立，并且X~N(0,1)，Y~N(1,2)．求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度．
解：由题设，有
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
E(X)?0，D(X)?1，E(Y)?1，D(Y)?4．
又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有
E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?E(3)?2． D(Z)?D(2X?Y?3)?4D(X)?D(Y)?D(3)?8． 且Z~N(E(Z),D(Z))?N(2,8)，故随机变量Z?2X?Y?3的概率密度为
fZ(z)?12?8e?(z?2)2?824?
三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X(mm)表示轴的直径，随机变量Y(mm)表示
?1e?(z?2)162 (???z???)．
轴衬的内径，已知X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在1~3(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．
解：由题设，知随机变量X与Y是独立的，且X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)．设Z?Y?X根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有
2222Z~N(52?(?1)?50,0.4?(?1)?0.3)?N(2,0.5)． 根据题目假设，我们知道当1?Z?Y?X?3时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为
0.50.50.54 ?2?0.977?21?0.954．
P(1?Z?3)?P(1?2?Z?2?3?2)?P(?2?Z?20.5?2)??(2)??(?2)?2?(2)?1
四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率； （2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则?~B(100,0.8)．
E??100?0.8?80． D??100?0.8?(1?0.8)?16．
（1）P(70???86)??0,1(86?8016)??0,1(70?8016)??0,1(1.5)??0,1(?2.5)
?1?0.927 ??0,1(1.5)?[1??0,1(2.5)]?0.9332?0.9938（2）P(??80)?1?P(0???80)?1?[?0,1(80?8016)??0,1(0?8016)
?1??0,1(0)??0,1(?20)?2??0,1(0)??0,1(20)?2?0.5?1?0.5．
五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？
（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X表示“一年内死亡的人数”，则X~B(10000,0.006)．
EX?10000?0.006?60． DX?10000?0.006?(1?0.006)?59.84．
（1）P(1000X?10000?12)?1?P(0?X?120)?1?P(0?6059.8459.84 ?1?[Φ0,1(7.7)?Φ0,1(?7.7)]?2?2Φ0,1(7.7)?0．
???60?120?6059.84)
即保险公司不可能亏本．