概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
三、设总体X~N(?,?2)，已知?=?0，要使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大
于l，问需要抽取多大容量的样本？
???x??u????x?u?．进一步有2u??l，即解：因为~N(0,1)，所以有 x?n2n2n2?n4(?lu?)?n．综上述，故有
22n?4(?0lu?)．
22四、测得16个零件的长度（mm）如下：
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件长度服从正态分布，求零件长度标准差的置信水平为0.99的置信区间．如果：
（1）已知总体均值为12.08mm；（2）未知总体均值． 解：x?12.08，s?0.0494，1???0.99，??0.01
1616i?(x（1）P(i?1?12.08)2?(x???i?1i?12.08)2??1622?1621?)?0.99．
?2?(x置信区间为
i?1i?12.08)2?(x???i?1i?12.08)2??22?21?，即
?20.0328???0.0848．
（2）未知均值时，有
(n?1)s2??故置信区间为
22???(n?1)s2?21?．
?20.0334???0.0892．
五、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量(A·h) 如下：
甲厂： 144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂： 142 143 139 140 138 141 140 138 142 136. 设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(? （1）电容量的均值差?12221,?1)及N(?22,?2)，求：
2??2的置信水平为0.95的置信区间（假定?1??2）；
（2）电容量的方差比?1/?2的置信水平为0.95的置信区间．
2解：甲厂产品的样本均值为x1?140.5，样本方差为s1?5.75，乙厂产品的样本均值为x1?139.9，样本方差为s2?4.29．
（1）由题设，有1???0.95，解得??0.05．当自由度k?8?10?2?16时，查表得
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
t??t0.025?2.12．
2又由公式sw?n1s1?n2s222n1?n2?2，得sw?8?5.75?10?4.298?10?2?2.36．
所以由公式x?y?t?sw21n1?1n2??1??2?x?y?t?sw21n1?1n2，得所求置信区间为
?1.773??1??2?2.973．
（2）由题设，有1???0.95，解得??0.05． 当自由度k1?8?1?7，k2?10?1?9时，查表可得
F?(k1,k2)?F0.025(7,9)?4.2．
2又由公式F1??2(k1,k2)?F0.975(k1,k2)?1F0.025(9,7)2222?14.82．所以由公式
s122s12F?(k1,k2)s??1?22?F1??2(k1,k2)s2，
得所求置信区间为
6.574.2?4.772??122?2?4.82?6.574.77．
即 0.328?
?1?22?6.645．