概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 一、设总体X~N(40, 52)．
（1）抽取容量为36的样本，求样本平均值X在38与43之间的概率； （2）抽取容量为64的样本，求X?40?1的概率；
（3）抽取样本容量n多大时，才能使概率PX?40?1达到0.95？ 解：（1）因为N(40, 5)，所以x~N(40,)，从而有
3638?40??4043?40P(38?x?43)?P(??)??0,1(3.6)??0,1(?2.4)
565656??0,1(3.6)??0,1(2.4)?1?0.99984?0.9918?1?0.99164
2??52
5 （2）由题设，x~N(40,())，从而有
82P(x?40?1)?P(?1?x?40?1)?P(?85?x?4058?888)??0,1()??0,1(?) 555?2Φ0,1(1.6)?1?2?0.9452?1?0.8904
x?40 （3）要使P(x?40?1)?P(n55n?n5)?2?0,1(n5)?1?0.95，即要?0,1(n5)?0.975经查
表，有
?1.96，解得n?96.04，即抽取样本容量n约为96时，可使P(x?40?1)?0.95.
二、从正态总体N(?,0.52)中抽取容量为10的样本XX． ,2,?,X11010 （1）已知??0，求?Xi2?4的概率；
i?110 （2）未知?，求?Xi?Xi?1??2?28.5的概率．
解：（1）因为
1102??(xi?110i?1i??)~?(10)，所以有
2i22P(?X?4)?P(210.5210?Xi?12i?40.52)?P(10.5210?(Xi?1i?0)?16)
2?P(?(10)?16)?0.10
（2）因为
10?1?2s*~?(9)，所以有
10222P(?(Xi?X)?2.85)?P(i?1210?1?2?110?110?(Xi?X)?i?1222.85?2)
?P(?(9)?22.850.522)?P(?(9)?11.4)?0.25
三、设总体X~N(50,6)，总体Y~N(46,4)，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率 抽取容量为8的样本，求下列概率： （1）；P(0?X?Y?8)；（2）P(S1S222?8.28)．
解：（１）因为X~N(50,62)，Y~N(46,42)，所以由
u?(X?Y)?(?1??2)2122~N(0,1)．
?得
P(0?X?Y?8)?P(?n1??n250?466210?42?(X?Y)?(50?46)62810?42?8?(50?46)628?45.6)
10?42)
8 ?P(?45.65.6 ?2?(1.69)?1?0.909．
?(X?Y)?(50?46)（２）因为X~N(50,62)，Y~N(46,42)，所以由
F?S1?1S2222?22~F(9,7)．
得
P(S1S222?8.28)?P(S16S222224?8.28?4622)?P(S16S222224?3.68)?0.95．
四、设总体X服从“0—1”分布：
P(X?x)?p(1?p)x1?x, x?0或1．
抽取样本X1,X2,?,Xn，求样本均值X的概率分布，数学期望E(X)及方差D(X)．
x1?x解：P(Xi?x)?p(1?p), (x?0或1），于是有
??EXi?0?(1?p)?1?p?p ??DXi?p(1?p)
其中i?1,2,?,n.于是有
P(X?mni)?Cnp(1?p)mmn?m
???p
E(X)?E(D(X)?D(1nn1nX?ni?1)?n1niE(X?ni?1)?1n21n??ni?1n?i?1Xi)?1n2?i?1D(Xi)????i?1?n?p(1?p)n
17 参数的点估计
一、设总体X服从“0—1”分布：
P(X?x)?p(1?p)x1?x, x?0或1．
如果取得样本观测值x1,x2,?,xn (xi?0或1)，求参数p的矩估计值与最大似然估计值． 解：(1)
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
nnn似然函数为L(x,p)??i?1pi(1?p)x1?xi?pi?1(1?p)n?xin??xii?1，取对数，有
lnL(x,p)??xilnp?(n??xi)ln(1?p)．
i?1i?1ndp为 p??x．
令
dlnL(x,p)?i?1?xip?n(n??xi)i?1n1?pln(1?p)?0，解得np??xi，从而得p的极大似然估计值
i?1n二、设总体X的概率密度为
??x??1, 0?x?1; f(x;?)???0, 其它.其中?>0．如果取得样本X1,X2,?,Xn，求参数?的矩估计量与最大似然估计量． 解：
nni似然函数为L(?)???(xi?1,?)???xii?1??1，取对数，有
?(??1)lnxi]．
nlnL(?)??[ln?i?1令
dlnL(?)d???(i?1n1??lnxi)?n???lnxi?0，求得?的极大似然估计值为
i?1n????三、设总体X服从?分布，其概率密度为
ni?1?lnxin．
?????1??xxe, x?0;?f(x;?,?)??????
?0, x?0.? 其中参数?>0，?>0．如果样本观测值为x, ,x,?,x12n （1）求参数?及?的矩估计值；
（2）已知?=?0，求参数?的极大似然估计值． 解：（1）因为E(X)?令?x?t???????x?(x;?,?)dx??)e2x??0??????0x??1e??xdx ????1????????????2????0(t??t1??dt?????????201tedt?xt??1??t．
E(X)?令?x?t?(????x?(x;?,?)dx????1x??????2e??xdx ????2??????2?所以，根据矩估计，有
??????0????t)e?t1?dt?1??????????10edt??t．
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
E(X)?1n2i?1?xi?x，E(X)?n21ni?1?xi．
n2即 亦即
???x，
?(??1)?ni?1?21ni?12?xi． nn???x，
??2?1n2?x?x?2i1ni?12~2?(xi?x)??．
x??x． ??2 , ?解得 ?~~2??（2）由（1），有
?0x?四、从总体X中抽取样本X，证明下列三个统计量 ,X,X123?1? ?X126244333都是总体均值E(X)??的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效． ?1)?E(解：因为E(??2)?E(E( ??3)?E(E( ?X13?X23?X12?)??X23413??X364)?1212E(X1)?1413E(X2)??1314?EX13?163?x，故有???0.
?X23?X3?2?, ?X1?X2?X3?3?, ?X1?X2?X3
E(X3)?(?(12?14?1214?13?16)EX?EX．
X12X33X121X2X3)?13EX1??13EX2)EX?EX．
EX1?EX2EX3?(13136)EX?EX．
?1, ??2, ??3都是总体均值EX??的无偏估计量． 所以??1)?D(又因为D(???X231??1X36)?14D(X1)?19D(X2)?D(X3)
936XX11?2)?D(D( ??2?3)?DX1?DX244416?()DX?0.375DX． 16XXX11?3)?D(1?2?3)?DX1?DXD( ?333994?16?1111?(4X1)DX?0.39DX．
2?116DX3
2?19DX3?(19?19?19)DX?0.33DX．
?3更有效． 所以， ?五、设总体X服从指数分布e()，其中??0，抽取样本X1,X2,?,Xn ，证明：
? (1) 虽然样本均值X是?的无偏估计量，但X2却不是?的无偏估计量； (2) 统计量
nn?1X是?的无偏估计量．
222解：E(X)?E(1niX?ni?1)?1niE(X?ni?1)??．
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
E(X)?D(X)?[E(X)]?222?22??．
n由此可见，虽然样本均值X是?的无偏估计量，但X2却不是?2的无偏估计量．
18 正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计
一、设总体X~N(?,?2)，如果样本观测值为
6.54 8.20 6.88 9.02 7.56,
求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间，假定：（1）已知?=1.2；（2）未知?． 解：（1）由1???95%，解得??0.05.
又由题设，有x?7.64，s2?1.003，u??1.96，从而由
2x??05u????x?2?05u?，
2有 6.588???8.692， 即 ??(6.588,8.692)． （2）因为t??t0.025?1.96，所以由
2x?snt????x?2snt?，
2即 7.64?0.2006?1.96???7.64?解得 6.395???8.885． 样本标准差s=14（h），求：
（1）总体均值?的置信水平为0.99的置信区间；
0.2006?1.96．
二、设电子元件的寿命服从正态分布N(?,?2)，抽样检查10个元件，得到样本均值x=1500(h)，
（2）用x作为?的估计值，误差绝对值不大于10(h)的概率．
解：（1）由1???99%，解得??0.01.
又由题设，有x?1500，n?10，s?14，?未知，查表得t??t0.005?2.58故由
2x?snt????x?2snt?，有
210亦即 1485.6???1514.4．
1500?14?2.58???1500?1410?2.58．
（2）P(x???t??2snt?)?P(x???21410t?)?P(x???10)?1??，即
21410t??10，亦即
25710?2.25877，查表得
?2?0.025，即??0.05，故
P(x???10)?1???0.95．