储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要
本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过求微积分方法，得到了储油罐标定的一般理论公式，建立了两种不同类型求储油罐罐容表的模型。
对于问题一中小椭圆形储油罐，我们先对其无变位情况进行求解，发现误差不可忽略，对误差产生的原因做了定性分析，其中主导因素的是油管的体积，并对误差进行一次曲线拟合修正。然后，求得变位情况下的一般理论公式，利用原题附件1中变位进油数据对公式进行分段曲线拟合修正，进一步得到了油罐容量V和油面高度h的函数关系，并通过原题附件1中变位出油数据验证了模型的准确性。利用残差分析法，求得理论值和实验值的相对误差为0.05%，说明该模型稳定、可行。进而利用该函数关系求得了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表，并给出了罐体变位后对罐容表的影响一般关系式，总结出罐体变位后对罐容表影响趋势是当测量的油面高度一定时，随着?的增大，对罐容表测定的油罐容积误差变大。 对于问题二中实际储油罐，我们先对其无变位情况进行求解，所求结果与原题附件2中所给标定容量的相对误差仅为10。进一步推广得出了油罐容量V和?,?一般函数积分关系式。
?5在求积分的过程中，我们利用龙贝格求积方法对其进行求解，精度达到99.999%,求积一次不足1毫秒。由于测量过程中，油浮波动不可避免，所以数据有一定波动，不存在与数据完全吻合的?,?值。在求?,?的过程中，我们利用最小二乘法的思想，编程采用精确控制的
oo??2.116,??4.252遗传算法，利用原题附件2中所给前半部分的300组数据求出。为
了验证?,?值的准确性，我们将手动计算与计算机图像法相结合，进行层层放大逼近求解，最终结果基本一致。为了减小误差，我们对其进行了二次拟合修正，发现修正后的值对于附
件2中后半部300组数据并不明显，故不加修正。我们将所求值带入后半部分数据进行检验，与后半部分数据所求得的?'?2.112,?'?4.45对比，求得两组角度所对应的相邻两组数据的排出油量与计算所得值的平均相对误差之差5?10，而且当所选任意两组数据高度之差大于1米时，这两组数据所对应的高度之间排出油量与计算所得值相对误差都在0.01%以内，由此说明该模型稳定、方法可靠，?,?值与准确解的误差微乎其微。最后给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
关键词：微积分 曲线拟合 残差分析 精确控制遗传算法 目录
摘要………………………………………………………………………………….1. 目录………………………………………………………………………………….2 问题重述……………………………………………………………………3 问题分析……………………………………………………………………3 模型假设……………………………………………………………………3
1
?6oo符号系统……………………………………………………………………4 模型建立与求解………………………………………………………………4 5.1模型一…………………………………………………………………4 5.1.1模型建立………………………………………………………………4 5.1.2模型求解……………………………………………………………8 5.2模型二……………………………………………………………………9 5.2.1模型建立………………………………………………………………9 5.2.2模型求解………………………………………………………………13
六、模型分析与评价…………………………………………………………………17 6.1影响油罐标定的误差分析：………………………………………………17 6.2模型一误差分析………………………………………………………18
6.2.1、小椭圆型储油罐水平放置………………………………………18 6.2.2小椭圆型储油罐倾斜放置………………………………………19 6.3模型二误差分析………………………………………………………19 6.4模型检验：………………………………………………………………20 6.4.1问题一检验（残差检验法）……………………………………20 6.4.2问题二检验（残差检验法）…………………………………………20 6.5模型二优劣性分析……………………………………………………22 6.5.1优点：………………………………………………………………22 6.5.2缺点：………………………………………………………………22
七、模型推广………………………………………………………………………22 八、结论……………………………………………………………………………22 九、参考文献………………………………………………………………………24 问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向变位和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和变位角为 =4.1的纵向变位两种情况做了实验。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向变位角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 问题分析
本题需要解决储油罐的变位识别与罐容表标定问题。 对于问题一，需要找出油罐容量V和油面高度h的函数关系。我们可以先对储油罐无变位情况进行求解。通过油罐无变位放置情况时的截面积求得变位情况的一般理论公式，对其利用
2
o原题附件1中变位变位进油数据进行曲线拟合修正，进一步得到了油罐容量V和油面高度h的函数关系。
对于问题二中实际储油罐，我们将采用和问题一相同的方法并利用立体几何的方法得出了油罐容量V和?,?一般函数积分关系式。在求积分的过程中，我们想到利用龙贝格求积方法对简化。在求?,?的过程中，所求容积尽量逼近实验测量容积。编程我们想到可以采用遗传算法，某种程度上可以对其进行改动。
模型假设
1、问题中所给数据准确无误，不存在误差；
2、上述两问题中所给储油罐未发生蠕变，即不会产生塑性变形；
3、上述两问题中所给储油罐数据均为内壁数据，即不存在储油罐内壁造成的误差； 4、 标尺的刻度是准确的；
5、 油位的高度就是油位计的读数； 6、 储油量以油罐内油的体积衡量； 7、储油罐纵向偏移不大于10°。
符号系统
V : 储油罐中油的体积
h ：储油罐中油面的高度
?V ：体积的相对误差
E(h) ：误差修正函数
S ：截面面积
R : 球冠体大圆半径
模型建立与求解 5.1模型一： 5.1.1模型建立：
小椭圆型储油罐无变位放置情况
①理想条件下小椭圆型储油罐无变位放置时储油量
如图所示：无变位放置无变位的情况下，假设油面高度为h，所占储油罐底面的面积为S，则油罐中油所占的体积为：V=Sl,,
对油罐底面建立直角坐标系，如图5.1：
y s20 h-b
3
x dys1y
则油罐底面截面的的椭圆方程为：
x2y2??1a2b2
h-b 0 x 当h?b时，如图5.2所示，阴影部分的面dys 积为：
-b 图5.1 S?2??b?h?1?y2bab图2dy5.2
-b ⑴
设y=bsint,将y带入⑴式换元得：
b?hS?2?arcsinb?hbabcos2tdt?ab)dt
???2??arcsinb??(1?cos2t2
?ab[?2?arcsinb?hb?12sin(2arcsinb?hb)], ⑵
当h＞b时，如图1.4所示，将S分解为S1和S2，
1ab?其中S1为x轴下方图形中的半个椭圆的面积，则:S1=2：
S2为x轴上方，油液面下方图形的面积为：
h?bS21?y2aarcsinb2=
?h?b0b2dy?2?0abcos2tdt
?ab[arcsinh?b
b?12sin(2arcsinb?hb)]
S?b1?S2?ab[?2?arcsinh于是: S=
b?12sin(2arcsinh?bb)] 综上推导，得到储油量V油液面高度h的关系为：
?abl[??arcsinb?h?1sin(2arcsinb?hV????2b2b)],h?b?abl[??arcsinh?b??1sin(2arcsinh?b?2b2b)],h?b ⑷
由正弦函数性质sin(?x)??sinx，可对分段函数式（X）做统一表达式表示，即 4
⑶
储油量：
V?abl[?2?arcsinh?b1h?b?sin(2arcsin)]b2b ⑸
S?ab[截面积：
?2?arcsinh?b1h?b?sin(2arcsin)]b2b ⑹
?h?b1h?bS?ab[?arcsin?sin(2arcsin)]2b2b 推论1：对于椭圆被直线所截面积为：
小椭圆形油罐无变位状态下误差分析：
根据附件1所给的无变位进油数据中D列油位高度对上述⑸式进行求解，得出对应油位高度下的罐内油量，见附件X 求出两组数据的绝对误差为：
?V?V理论?V测量
相对误差为：
?VV理论
对求得理论得出的罐容表与附件1所给无变位进油数据对比，得到绝对误差，做出差值曲线，得到右图：
由图5.3可知：随着储油罐内油面的上升，绝对误差逐渐增大，说明误差不可忽略，必须对模型进行修正。
油罐无变位状态下模型修正：
通过Matlab对绝对误差进行曲线拟合，得到修正函数：
图5.3
E1(h)?0.1349 h-0.0120308
将得到的修正函数与理论求得的函数进行合成，得到：
V?abl[?2?arcsinh?b1h?b?sin(2arcsin)]?E1(h)b2b ⑻
小椭圆型储油罐变位放置情况 1）小椭圆型储油罐变位时储油量
5