r?R2?(R?x)2?2Rx?x2此时油面与半径夹角
cos??
?d?d,则??arccosrr
S?S圆?S弓形?d2?d??r?arccosr?drsin(arccos)rr
2图5.9
d2d?arccosr?drsin(arccos),0?h?1.5??rrS????r2?arccos?dr2?drsin(arccos?d),1.5?h?3?rr?综上可得 ⒂
由正余弦函数性质，可对分段函数式做统一表达式表示，即
S?arccosd2dr?drsin(arccos)rr
1RR2?(h?1.5)则
V?2?'Sdx2?R2=
1R2?(h?1.5)arccos2d2dr?drsin(arccos)dxrr⒃
d2dr?drsin(arccos)rr
S?arccos推论2：对于任意球面被平面所截截面积：
内圆柱的体积
据模型一中推论1，可得
S圆柱?arccosV圆柱?lS圆柱
综上可得：
R?h2R?hR?R(R?h)sinarccosRR
R?h2R?h?larccosR?lR(R?h)sinarccosRR
当0?h?1.5时，
V?V'?V圆柱larccos=
2?1RR2?(h?1.5)arccos2d2dr?drsin(arccos)dxrr+
R?h2R?hR?lR(R?h)sinarccosRR ⒄
当1.5?h?3时，
11V?V'?V圆柱?2?x2(R?x)2?3=RR2?(h?1.5)arccos2d2dr?drsin(arccos)dxrr+
11
larccosR?h2R?h1R?lR(R?h)sinarccos2?x2(R?x)RR+3 ⒅
实际储油罐发生横向偏移的储油量V
如图5.10，当储油罐发生横向偏移时，测得的油面高度h与实际油面高度h均过圆心，由几何关系可知： 'R' 'h?(h?R)cos??R β ⒆
'图5.10 其中R 为球冠部分任一横截面圆的半径
''h' h ?
储油罐发生纵向偏移时的储油量V：
如图所示：储油罐发生变位的情况下，假设测得的油面高度为h?,对油罐横截面建立直角坐标系，如下图
油位探针 地平线
油位探测装置 y 油浮子 a 3m 油 1.5m h' 0 1m 2m α
设油平面方程为
注检油查口 口 出油管 b x 图5.11 无变位h????tan??x?h??3tan?
令k??tan?,c?h??3tan?
此时，可根据一元二次方程的求根公式得到无变位线与油罐截面的两个交点，设为a,b（如图5.11所示）则
12
a?(2kb?3k?2R)2?4(1?k2)(b?1.5)2?(2kb?3k?2R)2(1?k2)
b??(2R?2kb?3k?20)?(2R?2kb?3k?20)2?4(1?k2)(b2?3b?102.25?20R)2(1?k2)由推论2可知：
2Rx?x2
R?h??R?h??S2?R2arccos?R(R?h??)sinarccosRR
其中，S1为球冠内部任一高度的竖直截面面积
S2为圆柱体内任一高度的竖直截面的面积
S1?arccos1.5?h??2Rx?x2(2Rx?x2)?(1.5?h??)sinarccos1.5?h??y 3?2tan? 7tan??1.5无变位面
3m 1.5
6tan?3tan?? x 0 1.5m ? 图5.12 1m 由几何关系可知h?各区间零界点的值，并对h?做区间化处理，得： ①当0?h??6tan?时
V??s1dx??a13?htan?1s2dx
②当6tan??h??1.5?3tan?
V??s1dx??s2dx??s1dxa1919b
③当1.5?3tan??h??7tan??1.5
19baV??s1dx??s2dx??s2dx??a2(R?)a193
④当7tan??1.5?h??3?2tan?
13
a10?bV??s1dx??s2dx??s1dx??a2(R?)??(10?b)2(R?)a1933
19b⑤当3?2tan??h??1.2时
V??93?tan?23?h?s2dx??s1dx??(10?b)(R?9b10?b1)??(R?)33
5.2.2模型求解
(1) 罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向变位角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。
?h?1sdx?3?tan?sdx0?h??6tan?
?12??a1 9b?1??as1dx??1s2dx??9s1dx6tan??h??1.5?3tan? ? 9ba?12V???s1dx??s2dx??s2dx??a(R?)1.5?3tan??h??7tan??1.5 ⒇ a193?9ba10?b ?122??as1dx??1s2dx??9s1dx??a(R?3)??(10?b)(R?3)7tan??1.5?h??3?2tan? ? ?9sdx?bsdx??(10?b)2(R?10?b)??(R?1)3?h?23?2tan??h??1.2 1???3?tan933??
''?h?(h?R)cos??R其中：
（2）利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，确定变位参数。 1）、方法一：（精确控制遗传算法）
根据第一步求出的罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向变位角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系，对其利用计算机模拟求积分。如图：
求积分的子程序中采用龙贝格求积方法，将复杂的求积方程转化为精度高达99.999%且运行时间提高100倍的求积算法。
然后，利用附件2中所给前半部分数据，计算相邻数据油位高度所对应的油的容量差?V。
??V?V出??2????V????（其我们利用最小二乘法的思想，数据的相对误差的平方的计算公式为
2f(?,?)??V?,??，f(?,?)中出为累计出油量），求出下所给数据相对误差的平方和
2取最小值时的?,?即为最逼近所给数据的取值。
在计算机编程实现时，我们利用精确控制遗传算法，通过精确控制的方法，提供模糊初值，
?并从中选取较优后代繁衍后代，找到?
2的最小值，从而找到对应的?和?，源程序见附
14
件1。
?????2.116????4.252??最终经过计算得出：
具体程序流程图如图5.13：
左图为：求积算
法 开始 输入h,?,? 把?角下的h转化为h?计算油面与油罐的交点a<1 N Y 左边部分整个球冠球冠的体的体积v1 b>9 N Y 右边部分v3=0 球冠的体中间部分的体积v2 V=v1+v2+v 结束 开始 输入date ,min a ,max a, min b, max F(dat,a(i)-esp,b(i)-esp,a(i)+esp,b(i)+eps, 2eps2/(max a-min a),n，eps2) eps