平顶山学院2012届本科毕业设计 MATLAB在自动控制理论实验中的应用
图2-10 s?4s?4s?s?2s?K?0根轨迹图及K=1时的闭环根信息
54322.3.2利用MATLAB绘制根轨迹图
例2-11 设系统如图2-11所示。试作闭环系统根轨迹图，并分析K值变化对系统在阶跃扰动作用下响应c(t)的影响。
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R(S) + s2?2s?2 - + K 3sC(s)
图2-11 控制系统
解 由题意可知n(t)?1(t)，N(S)??n(s)?Ks?K(s?2s?2)321在扰动作用下，系统的闭环传递函数为 s
11Cn(s)??n(s)N(s)，cn(?)?lims?n(s)?
s?0s2系统的闭环特张方程
D(s)?s3?K(s2?2s?2)?0 系统的等效开环传递函数为
K(s2?2s?2)K(s?1?j)(s?1?j)G1(s)??
s3s3① 实轴上的根轨迹：[0，-∞]。
② 根轨迹与虚轴的交点：令s?j?，并将其代入闭环特征方程可得
(j?)3?K[(j?)2?2(j?)?2]?0
3?????2K??0即?因??0，故可解得交点坐标为???2??1.414，K=1 2???K??2K?0根据以上分析可知：当0﹤K﹤1时，系统不稳定，cn(t)发散；而当K﹥1时，系统稳定，cn(t)收敛；当K值在K﹥1的基础上继续增大时，系统的稳定性变好，cn(t)收敛加快；当K→∞时，系统的阻尼比趋近于0.707，响应cn(t)的振荡性减弱，系统的调节时间减小，快速性得到改善。 MATLAB程序如下：
G=zpk([-1-i -1+i], [0 0 0], 1); figure(1), rlocus(G);
numg=[2];
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deng=[1 0 0 0];
numf=[1 2 2]; denf=[0 0 1];
[num1, den1]=feedback(numg, deng, numf, denf); sys1=tf(num1, den1); t=0:0.01:20;
figure(2), step(sys1,t); grid
numg=[20]; deng=[1 0 0 0];
numf=[1 2 2]; denf=[0 0 1];
[num2, den2]=feedback(numg, deng, numf, denf); sys2=tf(num2, den2); t=0:0.01:20;
figure(3), step(sys2,t); grid
仿真曲线如图2-12所示：
设K值分别为K=2和K=20，应用MATLAB软件包可得系统单位阶跃扰动响应曲线如图2-13和图2-14所示，其动态性能如下：
K=2时，?%?24.6%；tp?2.49s；ts?9.95s；(??2%) K=20时，?%?4.35%；tp?3.03s；ts?4.05s；(??2%)
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图2-12 1?K(s?1?j)(s?1?j)=0参数根轨迹图
s3
图2-13 K=2时的单位阶跃扰动响应
图2-14 K=20时的单位阶跃扰动响应
例2-12 某系统的开环传递函数为：G(s)?规根轨迹，并对系统的性能进行分析。 在MATLAB中输入如下命令：
K，试绘制系统的常2s(s?5s?12)17
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G= tf( 1,conv([1 0]，[ 1 5 12] ) ); [ z，p，k] = zpkdata( G，'v'); rlocus(G); axisequal; axis( [ -8 4 -8 8] );
set( findobj( 'marker'，'x') ，'markersize'，12); set( findobj( 'marker'，'o') ，'markersize'，12);
图2-15 系统的根轨迹图
运行后得到系统的根轨迹仿真曲线如图2-15。根据时域分析中系统稳定的条件，在根轨迹图中确定关键点，由其参数知：当0
G(s)?K(s?6)s(s2?5s?12)，仍采用直接编程方法绘制根轨迹，在
MATLAB中输入如下命令：
G= tf( [ 1 6] ，conv( [ 1 0] ，[ 1 5 12] ) ); [ z，p，k] = zpkdata( G，'v');
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