2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答 （1）计算积分
???0e??x?e??xdx,??0,??0. 2x22解 方法一 直接利用分部积分法得
???e??x20?ex2??x2dx????0221(e??x?e??x)(?)?dx
x?????0221(?2?xe??x?2?xe??x)(?)dx
x?????2(????0(2?e??x?2?e??x)dx22
?2????2)??(???)；
方法二 不妨设0????，由于而积分???2e??x2?ex2??x2????e?yxdy，
20??e?yxdx关于y在[?,?]上一致收敛，故可交换积分次序
?0e??x?e??xdx?2x22???0dx?e???yx2dy????dy???0e?yx2dx
????1y??0?22dy??(???)；
2方法三 将??0固定，记I(?)??收敛．
e??x?e??xdx, ??0， 可证I(?)在(0,??)上2x设??[?,??), ??0， 因为e??x?e??x，而?所以由Weierstrass判别法知道
22＋?０e??xdx收敛，
2?＋?０e??xdx对??[?,??)一致收敛．所以可以
2交换微分运算和积分运算的次序， 即
I?(?)????0?e??x?e??x()dx??x222????0(?e??x)dx??21??2．
由?的任意性，上式在(0,??)上成立． 所以
I(?)?????C，由于I(?)?0,C???, 所以
1
I(?)??(???)，
即
(2)若关于x的方程kx?数k.
解：设f?x??kx????0e??x?e??xdx??(???)． 2x221?1，?k?0?在区间?0,???内有唯一的实数解，求常2x12?，则有， ?1fx?k???23xx11????3322????当x??0,???时，f??x??0；当x????,???时，f??x??0.
??k????k??????13由此f?x?在x???2??处达到最小值， ?k?1又f?x??kx?2?1在?0,???内有唯一的零点，
x131???2?3?k?2?2?3??必有f???0，k??????1?0，
??k???k??2???3?1?2127??k?23?????1，k2??1， ?4?4????23所以k?233.
（3）设函数f?x?在区间a,b上连续，由积分中值公式，有???f?t?dt??x?a?f???，?a???x?b?，若导数f??a?存在且非零，
ax?求lim?x?a??ax?a.
解：
??f?t??f?a??dt??x?a??f????f?a??，
xa2
x??a1 ??ft?f?a??dt， 2?a???x?af????f?a??x?a???a由条件，可知 lim?x?a??a1?，
f????f?a?f???a?x?a?f?t??f?a??dtf?x??f?a?1?lim?lim?f??a?，
a?x?x?a?2x?a?2?x?a?2?故有lim?x?a??a1?. x?a2二、设函数f?x?在x?0附近可微，f?0??0，f??0??a, 定义数列xn?f??1??2??n??2?f?2?????n??n?f?2?. ?n?证明：?xn?有极限并求其值. 证明：由导数的定义，
对于任意??0,存在??0，当0?|x|??时，有于是?a???x?f?x???a???x，?0?x???
f?x??a??. xk1从而，当n??时，有2???，
nn?1?a???kk?k??f?a??，其中k?1,2,?,n. ???2?22nn?n?对于上式求和，得到
nkka???x?a?????2n???2，
k?1nk?1nn即?a???n?1n?1， ?xn??a???2n2n令n??，有
3
11a???limx?limx?a??????, nnn??n??22a由??0的任意性，得到 limxn?.
n??2 设f?x?在??1,1?上有定义，在x?0处可导，且f?0??0.
?k?f??0?证明：lim?f?2??.
n??2?n?k?1n
三、设函数
f在[0,??)上一致连续，且对任何
，
x?[0,1]，有
limf(x?n)?0n??证明：
limf(x)?0x???。
试举例说明，仅有证明 证法一
f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。
由
f在[0,??)上一致连续，对
???0， ???0，
当
y1,y2?[0,??)
且
|y1?y2|??时，
便有
|f(y1)?f(y2)|??2；
k等分，设其分点为
1??取定充分大的正整数k，使得k
4
。现把区间[0,1]x?iik,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于?。
对于任意
x?1，x?[x]?[0,1)；
从而必有xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|??；
由条件对每个xi，有
limf(xi?n)?0；
n??于是存在N，当n?N时，|f(xi?n)|??2，对i?0,1,?,k都成立；
故当x?N?1时，便有
|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|??2??2??，
即得
limf(x)?0，结论得证。
x???证法二 设
fn(x)?f(x?n),由题设条件知
{fn(x)}在[0,1]上等度一致连续,对每一x?[0,1],有limfn(x)?0;
n??利用Osgood定理得, {fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0,
对???0,存在N，当n?N时,
有
|f(x?n)|?|fn(x)|??,x?[0,1],
从而当x?N?1时,有|f(x)|??,
即得limf(x)?0，结论得证。
x???设
f在[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]， 有limf(x?n)?0，但推不出n??limf(x)?0。
x???例如函数
f(x)?xsin?x1?x2sin2?x满足在[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]，limf(x?n)?0，
n?? 5
有