八、设函数f在[0,??)上一致连续，且对任何x?[0,1]，有证明：
ilmfx(n?)0?，
n??limf(x)?0。
x???试举例说明，仅有证明
f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。
由f在[0,??)上一致连续，对??当y1,y2?[0,??) 且|y1?y2便有|?0， ???0，
|??时，
?2；
。现把区间[0,1]f(y1)?f(y2)|?1??取定充分大的正整数k，使得kk等分，设其分点为
ixi?,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于?k对于任意
。
x?1，x?[x]?[0,1)；
从而必有xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|??； 由条件对每个xi，有limf(xi?n)?0；
n??于是存在N，当n?N时，|f(xi?n)|?故当x?N?1时，便有
?2，对i?0,1,?,k都成立；
|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|????22??，
即得
limf(x)?0，结论得证。
x??? 21
设
f在[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]，有limf(x?n)?0，
n??但推不出上述结论。 例如函数
f(x)?xsin?x满足在
[0,??)上的连续，且对任何x?[0,1]，有
1?x2sin2?xlimf(x?n)?0，
n??但不成立limf(x)?0 。 x???22