（2）计算I????axdydz??z?a?dxdyx?y?z222222，
其中?为下半球z??a?x?y的上侧，a?0.
2解法一. 先以x?y?z2?22122??a代入被积函数，
?z?a2axdydz??z?a?dxdy1z? ???axdyd?I???a?a?d，x dy222?x?y?a?补一块有向平面S:?，其法向量与z轴正向相反，
?z?0利用高斯公式，从而得到
?1?22I????axdydz??z?a?dxdy???axdydz??z?a?dxdy?
a??S???+S-??1?2???????a?2?z?a??dxdydz???adxdy?， ??a??D?其中?为?+S围成的空间区域，D为z?0上的平面区域x?y?a，
?2221?2322?于是I???3a??a?2???zdxdydz?a?a?
a?3??2?a014 ???a?2?d??dr?00?a?a2?r2zdz
? ???2a3.
解法二. 直接分块积分
I1?1222axdydz??2a?x?ydydz， ??????a?Dyz222其中Dyz为yOz平面上的半圆y?z?a，z?0. 利用极坐标，得
11
I1??2?d???2?a02a2?r2rdr???a3，
312I2????z?a?dxdy
a?21?222? ???a?a??x?y?dxdy，
???aDxy?其中Dxy为xOy平面上的圆域，x?y?a， 用极坐标，得
a12?I2??d??2a2?2aa2?r2?r2rdr
0a0222?? ??6a3，
因此I?I1?I2???2a3.
（3）现要设计一个容积为V的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积
a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底
面的直径之比为何值时，所需费用最少？
解：设圆柱体的高为h，底面直径为d，费用为f， 根据题意，可知??24V?d?2h?V， dh????2?2?d?f?a?2?????b??dh
?2? ????12?ad?bd?h ?2?11?1????ad2?bdh?bdh?
22?2?1??33ad2?bdh?bdh 2
12
3?32322?ab??dh? 23?323?4V??ab???， 2???当且仅当ad?bdh时，等号成立，
22ha?， db故当
ha?时，所需要的费用最少. db1?11?（4）已知f?x?在?,?内满足f??x??求f?x?. 33sinx?cosx?42?解：f??x??1?sin3x?cos3xdx
2?11sinx?cosx?? ????dx， 223?sinx?cosx2sinx?sinxcosx?cosx?111?sinx?cosxdx?2????dx
sin?x??4??x?1 ?lntan4?C1，
22sinx?cosxsinx?cosxdx?dx ?sin2x?sinxcosx?cos2x?112?sinx?cosx??22??sinx?cosx??1d?sinx?cosx? ?2?2?sinx?cosx??1?2?sinx?cosx2dx
?2arctan?sinx?cosx??C2
13
21所以，f?x??lntan32二、
求下列极限.
x??4?2arctan?sinx?cosx??C. 23??1?n? （1）limn??1???e?；
?n?????n???a?b?c? （2）limn???3??1n1n1n??，其中a?0，b?0，c?0. ???n??1?n???1?x?解：（1）limn??1???e??limx??1???e?
?x??????n???x???n???? ?limx???e?1?xln1????x??e1xx
1??1????11?ln?1?x???????x???x???1?x ?limx???1?2x1????x??
1?1?ln?1???x?1?x ?elim?
x???1?2x111??1?xx?1?x?2 ?elim
x???123x1?21?x?e? ?lim
x???12x2
14
e1e ??lim??. 2x???22?1??1??x???a?b?c?（2） limn???3??1n1n1n????lim?a?b?c?x????3????lnx???n1x1x1x?? ???x111xxxa?b?c ?limex???xln111xxxa?b?clim3 ?e31x，
lnx???lima?b?c3 1x11x1x1x11?1??1?xxx111?alna?blnb?clnc???2??x??xxx??lima?b?c x???1?2x11?1?xxx?lim1alna?blnb?clnc? 11?x????ax?bx?cx?1?1?lna?lnb?lnc??ln3abc， 31n1n1n??a?b?c故limn???3??m???3abc. ???1nkn???a一般地，有lim?k?1n???m??
????ma1a2?am，其中ak?0，k?1,2,?,m， ???15
n