Born to win
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) limx?01?x?1?x?2? . 2x(2) 曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A? . lnsinx?sin2xdx? .
dxtf(x2?t2)dt? . (4) 设f(x)连续,则?dx01(5) 曲线y?xln(e?)(x?0)的渐近线方程为 . x(3)
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设数列xn与yn满足limxnyn?0,则下列断言正确的是 ( )
n??(A) 若xn发散,则yn发散 (B) 若xn无界,则yn必有界 (C) 若xn有界,则yn必为无穷小 (D) 若
1为无穷小,则yn必为无穷小 xn23(2) 函数f(x)?(x?x?2)x?x的不可导点的个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数y?y(x)在任意点x处的增量?y?y?x??,其中?是比?x(?x?0)高阶1?x2的无穷小,且y(0)??,,则y(1)? ( )
?4(A) ?e (B) 2? (C) ? (D) e (4) 设函数f(x)在x?a的某个邻域内连续,且f(a)为其极大值,则存在??0,当
?4x?(a??,a??)时,必有 ( )
(A) (x?a)[f(x)?f(a)]?0 (B) (x?a)[f(x)?f(a)]?0
(C) limt?af(t)?f(x)f(t)?f(x)?0(x?a)lim?0(x?a) (D)
t?a(t?x)2(t?x)2 1
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(5) 设A是任一n(n?3)阶方阵,A是其伴随矩阵,又k为常数,且k?0,?1,则必有
?
(kA)?? ( )
(A) kA (B) k
三、(本题满分5分)
xtan(x?)4?n?1A? (C) knA? (D) k?1A?
?求函数f(x)?(1?x)
四、(本题满分5分)
在区间(0,2?)内的间断点,并判断其类型.
确定常数a,b,c的值,使limax?sinx?c(c?0).
x?0xln(1?t3)?btdt五、(本题满分5分)
利用代换y?解.
六、(本题满分6分)
计算积分
ux将方程y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e化简,并求出原方程的通cosx?3212dxx?x2.
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为?,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k?0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=f?v?.
八、(本题满分8分)
设y?f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在x0?(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在[x0,1]上以
y?f(x)为曲边的梯形面积.
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(2) 又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f?(x)??九、(本题满分8分)
设有曲线y?2f(x),证明(1)中的x0是唯一的. xx?1,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设y?y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为11?y?2,且此曲
线上点(0,1)处的切线方程为y?x?1,求该曲线的方程,并求函数y?y(x)的极值.
十一、(本题满分8分)
设x?(0,1),证明： (1) (1?x)ln2(1?x)?x2; (2)
1111?1???. ln2ln(1?x)x2
十二、(本题满分5分)
设(2E?CB)A?C,其中E是4阶单位矩阵,A是4阶矩阵A的转置矩阵,
?1T?1T?1?0B???0??0求A.
十三、(本题满分8分)
2?3?2??1?012?3??,C???0012???001??0210002101?0??, 2??1?已知?1?(1,4,0,2),?2?(2,7,1,3),?3?(0,1,?1,a),??(3,10,b,4),问： (1) a,b取何值时,?不能由?1,?2,?3线性表示？
(2) a,b取何值时,?可由?1,?2,?3线性表示？并写出此表达式.
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1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】?1 4【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
?原式?limx?01?x?1?x?2x2???1?x?1?x?21?x?1?x?2??
??limx?01?x?1?xx2??2?41?x?1?x?2??limx?02?1?x2?14x2?
1?x211?1?x2?1?x2?lim22??.
x?02x24方法2：采用洛必达法则.
原式?洛?limx?0?11?1?x?1?x?2?lim21?x21?x x?02xx2??????11?1?x?1?x1?x?1?x?洛?lim21?x21?x ?lim?limx?0x?0x?044x4x1?x21???1lim???x?021?x121?x?????.
44方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至x项,
211111?x?1?x?x2?o1?x2?,1?x?1?x?x2?o2?x2?,
282811111?x?x2?o1?x2??1?x?x2?o2?x2??22828从而 原式?lim 2x?0x1?x2?o1?x2??o2?x2?1??. ?lim42x?04x37(2)【答案】
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【分析】求曲线与x轴围成的图形的面积,应分清楚位于x轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与x轴交点.
【解析】y??x3?x2?2x与x轴的交点,即?x3?x2?2x??x(x?2)(x?1)?0的根为x??1,0,2.
当?1?x?0时,y?0；当0?x?2时,y?0,从而
A???ydx??ydx??(x?x?2x)dx??(?x3?x2?2x)dx?10?10020322?x??x?xx????x2?????x2??43??1?43?01185837?0?(??1)?(4??4)???.43312312(3)【答案】?cotx?lnsinx?cotx?x?C. 【解析】因为?cotx????cscx??2430432
1,所以 sin2xlnsinx?sin2xdx???lnsinx?cotx??dx???lnsinxdcotx
?分部??[cotx?lnsinx??cotxdlnsinx]
??cotx?lnsinx??cotx?cosxdx sinxcos2x??cotx?lnsinx??dx
sin2x1?sin2x??cotx?lnsinx??dx 2sinx??cotx?lnsinx??dx?1dx sin2x???cotx?lnsinx????cotx??dx?x
??cotx?lnsinx?cotx?x?C.
(4)【答案】xf(x)
22【解析】作积分变量代换u?x?t,t:0?x?u:x?0,
22du?d?x2?t2???2tdt?dt??x221du, 2t0?1?1x2?1???du??2???f(u)du??f(u)du, ?0tf(x?t)dtu?x?t??x2tf(u)?x20?2t??2?220 5